Como todos los años desde 2012, los Desafíos Matemáticos RSME-El País vuelven por Navidad. Este año, como hace ya tiempo, vuelve a ser Adolfo Quirós, profesor de la Universidad Autónoma de Madrid (UAM) y director de La Gaceta de la Real Sociedad Matemática Española, quien nos lo presenta.
Como ya ocurrío en 2020 y en 2021, este año no tenemos vídeo del desafío (como pasaba anteriormente). Por ello, os dejo con el texto exacto que nos ha dejado Adolfo, en el que podéis encontrar todos los datos necesarios para poder enfrentaros al desafío:
Os dejo también una aclaración que dejan en la publicación oficial del desafío:
Aceptaremos como válidas todas las respuestas que den un argumento coherente y convincente. No pedimos que la solución esté escrita con jerga matemática, lo que nos interesa es que la explicación sea clara y, obviamente, correcta. Esperamos sus soluciones.
Podéis enviar vuestras propuestas de solución hasta las 00:00 de la madrugada del martes 20 al miércoles 21 de diciembre, y lo tenéis que hacer enviándolas por mail a problemamatematicas@gmail.com. La solución se publicará el mismo día 21 de diciembre.
Y en relación con los comentarios en esta entrada, al igual que hice en los anteriores desafíos RSME-El País y en los Gaussianosyguijarro, en principio no tengo pensado quitaros la oportunidad de comentar, pero me gustaría que si queréis comentar no dierais la solución directamente, preferiría que si queréis comentar dierais pistas o que hablarais de la forma de resolverlo, en vez de limitaros a dar la solución tal cual. Muchas gracias a todos y a disfrutar con el desafío.
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Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir [latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o $latex código-latex-que-quieras-insertar$.
Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.
Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX, te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.
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Fernando
20/12/2022 19:16
Hola, durante la resolución del problema he advertido que una de las tres soluciones es imposible. Me gustaría que se diera una variante del juego para que esa solución sea posible.
Megacionista
21/12/2022 13:02
Me parece especialmente sencillo incluso para esta serie de desafíos. No sé si es que no he entendido algo, porque la opción de cambiar gana abrumadoramente y el cálculo no puede ser más elemental.
Ya ha salido la solución. Es exactamente lo que parecía. Cambiando se pasa de una probabilidad de tener el reintegro de 1/10 a otra de (9/10)(1/4)
Last edited 3 años hace by Megacionista
Robín García
24/12/2022 13:25
Me permito plantear yo un problemita.
La administración de loterías de la calle Ledesma 16 de Vil Vaho dio el primer premio de la lotería de Navidad en 2018 y el segundo premio de la misma en 2022.
¿ Cúal es la probabilidad de que una administración de loterías dé alguno de los dos primeros premios, dos veces en 5 años ?
Epílogo: No lo he resuelto todavía, pero cree que utilizando la probabilidad binomial y el hecho de que hay 11000 adminisrraciones de lotería en España y que ésta del centro de la villa, venderá unas 5 veces la media de lo que se vende por Administración, la probabilidad de tocar primer o segundo premio un año, debería estar cerca de 1 / 1000 . Y que toque 2 veces en 5 años de 1/100000, exactamente igual de díficil de que te toque la lotería !!
Hay que notar que el cálculo ha sido hecho de cabeza, sin boli ni papel y que puede estar mal.
Con esas condiciones a mi me salió 0.00008… que es 1 de cada 123788, que es cercano a 1 cada 100 000
Si no entendí mal tus condiciones serían que a cada administración le corresponden 100000/11000 números diferentes, que es aproximadamente 9 números. Pero si esa vende 5 veces la media le corresponderían 45 números (aprox.). Acertar un año el 1° o el 2° (que son 2 números diferentes) con cada décimo tiene una probabilidad 2/100000 = 1/50000
No acertar (ni 1° ni 2°) con 1 número sería 0.99998
Y no acertar con 45 números, aunque no son independientes podría aproximar por 0.99998^45
Que ocurra «no acertar con 45» durante 5 años seguidos sería
(0.99998^45)^5
Que ocurra «no acertar con 45» en 4 años pero sí acertar uno de los 5 años sería:
5•(0.99998^45)^4•(1-0.99998^45)=0.00448185664
Sumando: 0.99999192167
Que no ocurra lo anterior es cuando ocurre 2 veces o más.
1-0.99999192167= 0.00000807832
El inverso: 123788.042895
Es decir, una de cada 123788 veces.
—-
Ahora bien, esas condiciones me parece que no son reales. Aunque haya 11000 administraciones de lotería, me parece que no tienen cada una de ella 100 000/11000 porque eso significaría que no habría dos administraciones diferentes con el mismo número y sí que las hay.
Habiendo visto las noticias de los últimos años, creo que se podría dar una estimación de que cada número en media está en 2 administraciones diferentes (unas veces una sola, íntegramente, otras veces 3 ó 4, etc… Cuando sale «repartido»)
Es decir, cada una de ellas no tendría en media 100 000/11000 números diferentes sino el doble, en media unos 18. Si una administración tiene 5 veces la media serían 90 números diferentes que puede vender. El primer premio y el segundo son 2 números diferentes, y acertar uno de esos dos tiene probabilidad 2/100000.
No acertarlo sería 49999/50000=0.99998
Y no acertarlo con 90 números diferentes sería 0.99998^90
Que ocurra «no acertar con 90» durante 5 años seguidos sería
(0.99998^90)^5 =
= 0.99104028957
Que ocurra «no acertar con 90» en 4 años pero sí acertar uno de los 5 años sería:
5•(0.99998^90)^4•(1-0.99998^90)=0.0089274842
Sumando: 0.99996777378
Que no ocurra lo anterior es cuando ocurre 2 veces o más.
1- 0.99996777378
= 0.0000322262
El inverso: 31030.6373918
Es decir, una de cada 31031 veces.
Lo anterior sería la probabilidad de que ocurriese en esa administración, lo cual es una probabilidad muy baja. Pero si las 11000 fuesen así ocurriría uno de cada 3 años, es decir, sería bastante frecuente. Lo que pasa es que no todas las admin de lotería venden tantos números y, entonces, será menos de una cada 3 años. Aunque algunas venden mucho. Por ejemplo, algunas admin como «Doña Manolita» en Madrid o la de La «Bruja de oro» en Sort siendo muy exagerados podrían vender 10% de los números y, por tanto, es improbable que no acierten alguno cada 2 años, por decir algo.
Gracias por la respuesta. Los resultados coinciden.
Yo asumí que en cada punto de venta de lotería se vende idéntica proporción de números distintos, en proporción a lo que cada punto haya vendido. Recordemos que hay 180 series de 10 dècimos cada una, para cada uno de los 100000 números distintos. Un punto que venda 5 veces más que la media de los 11000 puntos de venta, venderá una fracciión 5 / 11000 y para 2 nú.eros distintos (1° o 2° premio), será una venta de una fraccíón 10 / 11000 =
1 / 1000 aproximadamente, con suficientemente buena aproximación, dado que no disponemos de los datos reales.
Se trata entonces de una probabilidad binomial, de que te toque 2 veces de cada 5 : P = C(5 , 2) * p^2 * (1 – p)^3 donde p = 1 / 1000 y C(5, 2) = 5! / (2! * 3!) = 10.
Podemos tomar 1 – p = 1 y obtenemos **(P = 1 / 100000, probabilidad de que toque el primer o el segundo premio de la lotería de Navidad en un punto de venta que venda 5 veces más que la media española, dos veces en 5 sorteos**
Pero la probabilifad de facto de que te toque el primer premio en 2018 y el segundo en 2022 , tal como ha sido y ha ocurrido, es de p^2 = 1 / 10^6. Yo pienso, por ello, que hay algún tipo de arreglo o de semi fraude o de conocimiento previo poco lícito, en estos asuntos lotereros patrios. Pan, circo y lotería, como en la Roma antigua. Incluso si este punto de venta facturara 16 veces más que la media española, que lo dudo, la probabilidad sería de (1 / 313) ^ 2 = cerca de 1 / 100.000. Probabilidad demasiado baja.
Robín García
02/01/2023 17:23
02/01/2023
Dicen algunos periódicos que la Administración de Loterías de Doña Manolita, en Madrid, ha dado 76 grandes premios, 76 de los 13 grandes premios de la Lotería de Navidad, en los últimos 112 años. Si eso es verdad, también lo es lo que sigue. Consideraremos que esa probabilidad P de los 76 premios en 112 años, sólo se puede dar, sin sospecha de irregularidad o de conocimiento previo de los números ganadores (conocimiento del futuro, por ejemplo, la máquina de Wells) si P > 10^-6.
Sea x el número de veces la media que la Administración de Doña Manolita vende lotería. Como son 13 números distintos y hay 11000 puntos de venta en España, la probabilidad p de que toque un año es p = 13 x / 11000.
Tenemos la condición de desigualdad binomial aproximada (contamos en este cálculo rápido que 1 – p = 1)
P = C(112 , 76)*p^76 > 10-6 –>
p^76 > 3,55*10^-36 –>
x > 289. Doña Manolita , según este cálculo no exacto debería de vender al menos 289 ceces la media de España. Tomando 50 años en vez de 76, porque pueden caer dos premios el mismo año, obtenemos x > 145. No sé si hay algún error matemático, alguna omisión aparte de que dejo el cálculo complero, (con 1 – p distinto de 1), para los matemáticos aquí presentes, soy sólo un aficionado con muy escasos conocimientos. Que se me perdonen, por tanto, los posibles errores e incompletitudes.
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Hola, durante la resolución del problema he advertido que una de las tres soluciones es imposible. Me gustaría que se diera una variante del juego para que esa solución sea posible.
Me parece especialmente sencillo incluso para esta serie de desafíos. No sé si es que no he entendido algo, porque la opción de cambiar gana abrumadoramente y el cálculo no puede ser más elemental.
Ya ha salido la solución. Es exactamente lo que parecía. Cambiando se pasa de una probabilidad de tener el reintegro de 1/10 a otra de (9/10)(1/4)
Me permito plantear yo un problemita.
La administración de loterías de la calle Ledesma 16 de Vil Vaho dio el primer premio de la lotería de Navidad en 2018 y el segundo premio de la misma en 2022.
¿ Cúal es la probabilidad de que una administración de loterías dé alguno de los dos primeros premios, dos veces en 5 años ?
Epílogo: No lo he resuelto todavía, pero cree que utilizando la probabilidad binomial y el hecho de que hay 11000 adminisrraciones de lotería en España y que ésta del centro de la villa, venderá unas 5 veces la media de lo que se vende por Administración, la probabilidad de tocar primer o segundo premio un año, debería estar cerca de 1 / 1000 . Y que toque 2 veces en 5 años de 1/100000, exactamente igual de díficil de que te toque la lotería !!
Hay que notar que el cálculo ha sido hecho de cabeza, sin boli ni papel y que puede estar mal.
Con esas condiciones a mi me salió 0.00008… que es 1 de cada 123788, que es cercano a 1 cada 100 000
Si no entendí mal tus condiciones serían que a cada administración le corresponden 100000/11000 números diferentes, que es aproximadamente 9 números. Pero si esa vende 5 veces la media le corresponderían 45 números (aprox.). Acertar un año el 1° o el 2° (que son 2 números diferentes) con cada décimo tiene una probabilidad 2/100000 = 1/50000
No acertar (ni 1° ni 2°) con 1 número sería 0.99998
Y no acertar con 45 números, aunque no son independientes podría aproximar por 0.99998^45
Que ocurra «no acertar con 45» durante 5 años seguidos sería
(0.99998^45)^5
Que ocurra «no acertar con 45» en 4 años pero sí acertar uno de los 5 años sería:
5•(0.99998^45)^4•(1-0.99998^45)=0.00448185664
Sumando: 0.99999192167
Que no ocurra lo anterior es cuando ocurre 2 veces o más.
1-0.99999192167= 0.00000807832
El inverso: 123788.042895
Es decir, una de cada 123788 veces.
—-
Ahora bien, esas condiciones me parece que no son reales. Aunque haya 11000 administraciones de lotería, me parece que no tienen cada una de ella 100 000/11000 porque eso significaría que no habría dos administraciones diferentes con el mismo número y sí que las hay.
Habiendo visto las noticias de los últimos años, creo que se podría dar una estimación de que cada número en media está en 2 administraciones diferentes (unas veces una sola, íntegramente, otras veces 3 ó 4, etc… Cuando sale «repartido»)
Es decir, cada una de ellas no tendría en media 100 000/11000 números diferentes sino el doble, en media unos 18. Si una administración tiene 5 veces la media serían 90 números diferentes que puede vender. El primer premio y el segundo son 2 números diferentes, y acertar uno de esos dos tiene probabilidad 2/100000.
No acertarlo sería 49999/50000=0.99998
Y no acertarlo con 90 números diferentes sería 0.99998^90
Que ocurra «no acertar con 90» durante 5 años seguidos sería
(0.99998^90)^5 =
= 0.99104028957
Que ocurra «no acertar con 90» en 4 años pero sí acertar uno de los 5 años sería:
5•(0.99998^90)^4•(1-0.99998^90)=0.0089274842
Sumando: 0.99996777378
Que no ocurra lo anterior es cuando ocurre 2 veces o más.
1- 0.99996777378
= 0.0000322262
El inverso: 31030.6373918
Es decir, una de cada 31031 veces.
Lo anterior sería la probabilidad de que ocurriese en esa administración, lo cual es una probabilidad muy baja. Pero si las 11000 fuesen así ocurriría uno de cada 3 años, es decir, sería bastante frecuente. Lo que pasa es que no todas las admin de lotería venden tantos números y, entonces, será menos de una cada 3 años. Aunque algunas venden mucho. Por ejemplo, algunas admin como «Doña Manolita» en Madrid o la de La «Bruja de oro» en Sort siendo muy exagerados podrían vender 10% de los números y, por tanto, es improbable que no acierten alguno cada 2 años, por decir algo.
https://www.google.com/search?q=1%2F%5B5*%280.99998%5E90%29%5E4*%281-0.99998%5E90%29%2B%280.99998%5E90%29%5E5-1%5D&oq=1%2F%5B5*%280.99998%5E90%29%5E4*%281-0.99998%5E90%29%2B%280.99998%5E90%29%5E5-1%5D&pi=1/%5B5*(0.99998^90)^4*(1-0.99998^90)%2B(0.99998^90)^5-1]
Gracias por la respuesta. Los resultados coinciden.
Yo asumí que en cada punto de venta de lotería se vende idéntica proporción de números distintos, en proporción a lo que cada punto haya vendido. Recordemos que hay 180 series de 10 dècimos cada una, para cada uno de los 100000 números distintos. Un punto que venda 5 veces más que la media de los 11000 puntos de venta, venderá una fracciión 5 / 11000 y para 2 nú.eros distintos (1° o 2° premio), será una venta de una fraccíón 10 / 11000 =
1 / 1000 aproximadamente, con suficientemente buena aproximación, dado que no disponemos de los datos reales.
Se trata entonces de una probabilidad binomial, de que te toque 2 veces de cada 5 : P = C(5 , 2) * p^2 * (1 – p)^3 donde p = 1 / 1000 y C(5, 2) = 5! / (2! * 3!) = 10.
Podemos tomar 1 – p = 1 y obtenemos **(P = 1 / 100000, probabilidad de que toque el primer o el segundo premio de la lotería de Navidad en un punto de venta que venda 5 veces más que la media española, dos veces en 5 sorteos**
Pero la probabilifad de facto de que te toque el primer premio en 2018 y el segundo en 2022 , tal como ha sido y ha ocurrido, es de p^2 = 1 / 10^6. Yo pienso, por ello, que hay algún tipo de arreglo o de semi fraude o de conocimiento previo poco lícito, en estos asuntos lotereros patrios. Pan, circo y lotería, como en la Roma antigua. Incluso si este punto de venta facturara 16 veces más que la media española, que lo dudo, la probabilidad sería de (1 / 313) ^ 2 = cerca de 1 / 100.000. Probabilidad demasiado baja.
02/01/2023
Dicen algunos periódicos que la Administración de Loterías de Doña Manolita, en Madrid, ha dado 76 grandes premios, 76 de los 13 grandes premios de la Lotería de Navidad, en los últimos 112 años. Si eso es verdad, también lo es lo que sigue. Consideraremos que esa probabilidad P de los 76 premios en 112 años, sólo se puede dar, sin sospecha de irregularidad o de conocimiento previo de los números ganadores (conocimiento del futuro, por ejemplo, la máquina de Wells) si P > 10^-6.
Sea x el número de veces la media que la Administración de Doña Manolita vende lotería. Como son 13 números distintos y hay 11000 puntos de venta en España, la probabilidad p de que toque un año es p = 13 x / 11000.
Tenemos la condición de desigualdad binomial aproximada (contamos en este cálculo rápido que 1 – p = 1)
P = C(112 , 76)*p^76 > 10-6 –>
p^76 > 3,55*10^-36 –>
x > 289. Doña Manolita , según este cálculo no exacto debería de vender al menos 289 ceces la media de España. Tomando 50 años en vez de 76, porque pueden caer dos premios el mismo año, obtenemos x > 145. No sé si hay algún error matemático, alguna omisión aparte de que dejo el cálculo complero, (con 1 – p distinto de 1), para los matemáticos aquí presentes, soy sólo un aficionado con muy escasos conocimientos. Que se me perdonen, por tanto, los posibles errores e incompletitudes.