Cuatro años, cuatro, ha estado GIMPS sin dar señales de vida en forma de nuevos primos de Mersenne…hasta ahora. En su página web han confirmado el descubrimiento de un nuevo primo de Mersenne, que hace el número 48 de la lista actual de este tipo de números primos. El «afortunado» descubridor es Curtis Cooper, de la University of Central Missouri.

En concreto se trata del número

2^{57885161}-1

que tiene la enorme cantidad de 17425170 cifras (sobrepasando así en casi 5 millones el número de cifras del primo de Mersenne número 47 de la lista). La cantidad que representa este número es, pienso, inimaginable para el ser humano. Baste lo siguiente para reflexionar sobre la monstruosidad de dicho número:

Si pensamos en un millón de cosas, lo normal es que nos parezca que son muchas. Bien, pues el número 1000000 tiene 7 cifras.

y este nuevo número primo tiene más de 17 millones de cifras…

Como hemos dicho, este número es uno de los denominados números de Mersenne, que son números de la forma 2^p-1 y cuyo nombre se debe a Marin Mersenne. Se sabe que 48 de ellos son primos, habiendo sido descubiertos los más grandes por el grupo GIMPS. De estos números de Mersenne se sabe que para que sean primos necesariamente el exponente p debe ser también un número primo, aunque no siempre que tomemos como exponente un número primo obtendremos un primo de Mersenne (por ejemplo, 2^{11}-1=2047=23 \cdot 89).

También se sabe que cada primo de Mersenne tiene asociado un número perfecto, es decir, un número que es igual a la suma de sus divisores (exceptuando al propio número):

Si 2^n-1 es un primo de Mersenne, entonces el número 2^{n-1} \cdot (2^n-1) es un número perfecto.

Por ejemplo, para n=3 tenemos que como 2^3-1=7 es primo el número 2^{3-1} \cdot (2^3-1)=28 es un número perfecto. Y efectivamente lo es:

1+2+4+7+14=28

Por tanto, en este caso tenemos que el número

2^{57885160} \cdot (2^{57885161}-1)

es un número perfecto. Si alguien se atreve, que calcule sus divisores y los sume (si contarlo a él), y que después compruebe que el resultado es el propio número, que, por cierto, tiene unos 34 millones de cifras…

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