El número 42, el sentido de la vida, el Universo y todo lo demás desde que apareciera en la Guía del autoestopista galáctico, añade una nueva propiedad a su mochila: ya sabemos cómo expresarlo como suma de tres cubos enteros. Si el pasado marzo era el 33 el que caía, en este ocasión ha sido el único entero positivo que quedaba sin respuesta de entre todos los menores de 100. Y en ambos casos el «culpable» ha sido Andrew Booker. Vamos a contar de qué va este problema y los nuevos avances que se han producido este año.
La cosa va de sumas de cubos, de qué números pueden representarse como suma de tres cubos y de cuáles serían esas representaciones.
Por ejemplo, es sencillo representar el número 
También lo es para el 
Y el 
Con esto, podemos presentar el problema ya:
Viendo los ejemplos anteriores, uno puede pensar que la cosa es sencilla, al menos para números no muy grandes. Nada más lejos de la realidad. Si no me creéis, antes de seguir leyendo pensad en cómo representar así el número 
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¿Qué tal ha ido? Si alguien lo ha conseguido, enhorabuena, porque aquí tenéis la única forma que yo he podido encontrar:
Casi nada…
Sigamos con el problema. Una pregunta inicial que nos podríamos hacer después de realizar pruebas con números pequeños es si hay algún número para el cual no se pueda. Podría parecer complicado de demostrar, pero se da la circunstancia de que en este caso se sabe que ningún número 
Antes de seguir con nuestro problema, creo que es interesante comentar que desde 1825 se sabe que todo número entero puede expresarse como suma de tres cubos racionales. Samuel Ryley publicó una demostración de este hecho en The Ladies’ Diary, una publicación que he conocido a partir de la escritura de esta entrada y que me parece una pequeña maravilla digna de investigar a fondo.
Por cierto, tenéis más información sobre ella en su página de la Wikipedia.
Eliminando ya estos números, ¿se puede con todos los demás?. Pues no lo sabemos, pero desde On sums of three cubes, artículo de Louis Mordell de 1955, se cree que todo número entero (excepto los que dejan restos
A partir de aquí, comienza la carrera para encontrar expresiones para los números para los que no se tenía expresión como suma de tres cubos enteros. Después de varios progresos individuales y relacionados con algoritmos de búsqueda, un gran avance se produce en 2000 cuando, a partir de un algoritmo desarrollado por Noam Elkies, se consigue solución para casi todos los números menores que 1000 (quedan en ese momento unos 30 números sin solución).
En 2009, gracias a ese algoritmo de Elkies, se consigue solución para todos los menores de 1000 excepto los siguientes:
De estos, los mayores de 100 siguen sin solución a día de hoy. Centrándonos en los menores de 100, la del 
Junto a ésta, Huisman obtuvo soluciones nuevas para otros casos que ya estaban resueltos. Tenéis más información en Newer sums of three cubes.
Por tanto, por debajo de 100 quedaban solamente el 33 y el 42…hasta este año 2019. En marzo, Andrew Booker publicaba Cracking the problem with 33, en el que presentaba la primera solución al problema de los tres cubos enteros para el número 33:
Desde ese momento, la niña bonita de este problema pasaba a ser el icónico número 
Todavía no han publicado el artículo pertinente en el que expliquen su descubrimiento y den más datos sobre el mismo, o al menos yo no he conseguido encontrarlo. Si alguien tiene conocimiento sobre ello, le agradeceremos que nos deje el enlace en los comentarios.
Antes de dejaros algunas fuentes con más información sobre este problema, un dato más para terminar la descripción del mismo: para encontrar esta solución, Booker y Sutherland han necesitado inspeccionar entre los números 
A continuación os dejo enlaces y vídeos relacionados con este problema. Algunos de ellos me han servido para encontrar algún dato para esta entrada y otros son buenas fuentes para ampliar la información aparecida aquí:
- On solving de diophantine equation
on a vector computer, de D.R. Heath-Brown, W.M. Lioen y H.J.J. te Riele.
- New integer representations as the sum of three cubes, de Michael Beck, Eric Pine, Wayne Tarrant y
. - A new method in the problem of three cubes, de Armen Avagyan y Gurgen Dallakyan.
- La primera solución entera de la ecuación
, del blog de Francis Villatoro.
- 33 can be written as the sum of three cubes, del blog The Aperiodical.
- El sentido de la vida, el universo y todo lo demás…resuelven
, tambíen del blog de Francis Villatoro.
- 42 is the answer to the question «what is (-80538738812075974)³ + 80435758145817515³ + 12602123297335631³?», también del blog THe Aperiodical.
- Sums of three cubes, en la Wikipedia en inglés.
Y, para finalizar, algunos pequeños detalles más:
- Para algunos números (muy, muy pocos) se conocen infinitas soluciones y las parametrizaciones de las mismas. Por ejemplo, para
se conocen estas infinitas soluciones (con
):
En Newer sums of three cubes podéis ver más información sobre ello.
- Aunque se conozcan infinitas soluciones para algunos casos, lo que sabemos del problema de la expresión de un entero positivo como suma de tres cubos enteros es mínimo en la actualidad (pensad que en 2019, con el conocimiento y los medios tecnológicos que poseemos, acabamos de descubrir la expresión para el número 42, un número de dos cifras). Según palabras de Alex Kontorovich, «La suma de los tres cubos es la ruina de la teoría analítica de números moderna».
- Este problema tiene relación con el conocido como problema de Waring.
- Y, en relación con lo del 42 y la Guía del autoestopista galáctico, la elección de dicho número fue totalmente azarosa. Lo confirmó el propio Douglas Adams, despejando así todas las dudas y cargándose todas las teorías que circulaban alrededor del 42:
La respuesta a esto es muy simple. Fue una broma. Tenía que ser un número, un número ordinario y pequeño, y elegí ese. Representaciones binarias, base 13, monjes tibetanos, es todo un completo disparate. Me senté en mi escritorio, miré hacia el jardín y pensé «42 será», y lo escribí. Fin de la historia.
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Al elevar un entero al cubo y tomar su resto módulo 9, solo obtenemos tres posibles resultados: 0, 1, -1 Ahora comprobamos, si sumamos tres números a, b, c, que pueden tomar los valores anteriores, qué restos obtenemos modulo 9. Vemos que el resultado cubre todos los restos posibles de 9, excepto en los casos 4, y 5: (utilizo la igualdad en sentido de congruencia) 0=0+0+0 1=0+0+1 2=0+1+1 3=1+1+1 4=? 5=? 6=-1-1-1 7=0-1-1 8=0+0-1 El 4 no puede expresarse con tres unos. Si el 4 no puede, el 5 tampoco, ya que 5=-4 (mod 9) y si uno de ellos… Lee más »
Perfecto Manuel Amorós :).
Madre mía, suena todo muy apasionante. Me encanta el nuevo formato de tu blog. Enhorabuena Gaussianos!
¡¡Muchas gracias!! Sí, la verdad es que, al menos a mí, todos estos temas me parecen apasionantes :).
Y lo del formato nuevo…mi tiempo me ha costado, ¿a que sí? :D.
Una pregunta de aficionado… ¿descomponer números en la suma de tres cubos de enteros, aparte de ser una curiosidad apasionante, puede tener alguna aplicación práctica?
Es posible que, en principio, no tenga ninguna aplicación práctica directa, pero nunca se sabe. No sería la primera vez que se encuentra aplicación práctica a algo que se pensaba que no la tendría.
Si alguien tiene más información que yo en ese aspecto, que nos lo comente :).
Muy buen artículo!
Me causa curiosidad el hecho de que todos los números que faltan por descomponerse en suma de tres cubos (menos a 1000) sean múltiplos de 3. Quizás hay algo ahí.
Podría ser algo a tener en cuenta, sí. También lo son 33 y 42, los dos últimos de dos cifras que han sido descompuestos así…pero no el 74, que fue el anterior a ellos. A ver si los expertos nos iluminan sobre ello.