El número 42, el sentido de la vida, el Universo y todo lo demás desde que apareciera en la Guía del autoestopista galáctico, añade una nueva propiedad a su mochila: ya sabemos cómo expresarlo como suma de tres cubos enteros. Si el pasado marzo era el 33 el que caía, en este ocasión ha sido el único entero positivo que quedaba sin respuesta de entre todos los menores de 100. Y en ambos casos el «culpable» ha sido Andrew Booker. Vamos a contar de qué va este problema y los nuevos avances que se han producido este año.

La cosa va de sumas de cubos, de qué números pueden representarse como suma de tres cubos y de cuáles serían esas representaciones.

Por ejemplo, es sencillo representar el número 36 como suma de tres cubos:

36=1^3+2^3+3^3

También lo es para el 35 si podemos utilizar el cero:

35=0^3+2^3+3^3

Y el 34 también es fácil…si usamos números negativos:

34=(-1)^3+2^3+3^3

Con esto, podemos presentar el problema ya:

El problema de la suma de tres cubos enteros consiste en determinar qué números enteros pueden representarse como suma de tres cubos de números también enteros y, para los que se pueda, encontrar dicha representación.

Viendo los ejemplos anteriores, uno puede pensar que la cosa es sencilla, al menos para números no muy grandes. Nada más lejos de la realidad. Si no me creéis, antes de seguir leyendo pensad en cómo representar así el número 30

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¿Qué tal ha ido? Si alguien lo ha conseguido, enhorabuena, porque aquí tenéis la única forma que yo he podido encontrar:

30=(-283059965)^3+(-2218888517)^3+2220422932^3

Casi nada…

Sigamos con el problema. Una pregunta inicial que nos podríamos hacer después de realizar pruebas con números pequeños es si hay algún número para el cual no se pueda. Podría parecer complicado de demostrar, pero se da la circunstancia de que en este caso se sabe que ningún número k que deje restos 4 ó 5 al dividirlo entre 9 puede representarse como suma de tres cubos de números enteros. Por ejemplo, ni el 14, ni el 184 ni el 6998 pueden expresarse de esta forma. Por cierto, ¿sabríás demostrar este hecho? Te dejo lo comentarios para que nos lo muestres.


Antes de seguir con nuestro problema, creo que es interesante comentar que desde 1825 se sabe que todo número entero puede expresarse como suma de tres cubos racionales. Samuel Ryley publicó una demostración de este hecho en The Ladies’ Diary, una publicación que he conocido a partir de la escritura de esta entrada y que me parece una pequeña maravilla digna de investigar a fondo.

Demostración de Ryley de que todo entero es suma de tres cubos racionales.

Por cierto, tenéis más información sobre ella en su página de la Wikipedia.


Eliminando ya estos números, ¿se puede con todos los demás?. Pues no lo sabemos, pero desde On sums of three cubes, artículo de Louis Mordell de 1955, se cree que todo número entero (excepto los que dejan restos 4 ó 5 al dividirlos entre 9) puede expresarse como suma de tres cubos de números enteros (de hecho, se cree que para cada entero hay infinitas formas de expresarlo de esta manera).

A partir de aquí, comienza la carrera para encontrar expresiones para los números para los que no se tenía expresión como suma de tres cubos enteros. Después de varios progresos individuales y relacionados con algoritmos de búsqueda, un gran avance se produce en 2000 cuando, a partir de un algoritmo desarrollado por Noam Elkies, se consigue solución para casi todos los números menores que 1000 (quedan en ese momento unos 30 números sin solución).

En 2009, gracias a ese algoritmo de Elkies, se consigue solución para todos los menores de 1000 excepto los siguientes:

33, 42, 74, 114, 165, 390, 579, 627, 633, 732, 795, 906, 921 y 975

De estos, los mayores de 100 siguen sin solución a día de hoy. Centrándonos en los menores de 100, la del 74 llegó en 2016 gracias a Sander Huisman:

74=(-284650292555885)^3+66229832190556^3+283450105697727^3

Junto a ésta, Huisman obtuvo soluciones nuevas para otros casos que ya estaban resueltos. Tenéis más información en Newer sums of three cubes.

Por tanto, por debajo de 100 quedaban solamente el 33 y el 42…hasta este año 2019. En marzo, Andrew Booker publicaba Cracking the problem with 33, en el que presentaba la primera solución al problema de los tres cubos enteros para el número 33:

33=8866128975287528^3+(-8778405442862239)^3+(-2736111468807040)^3

Desde ese momento, la niña bonita de este problema pasaba a ser el icónico número 42. Pues medio año después, a principios de este mes de septiembre de 2019, el propio Andrew Booker y Andrew Sutherland daban a conocer la primera solución del problema de la suma de los tres cubos enteros para el número 42:

42=(-80538738812075974)^3 + 80435758145817515^3 + 12602123297335631^3

Todavía no han publicado el artículo pertinente en el que expliquen su descubrimiento y den más datos sobre el mismo, o al menos yo no he conseguido encontrarlo. Si alguien tiene conocimiento sobre ello, le agradeceremos que nos deje el enlace en los comentarios.

Antes de dejaros algunas fuentes con más información sobre este problema, un dato más para terminar la descripción del mismo: para encontrar esta solución, Booker y Sutherland han necesitado inspeccionar entre los números x,y,z cuyo valor absoluto llega hasta 10^{17}. Es bastante probable, por tanto, que para atacar el siguiente número sin solución, el 114, haya que ampliar ese valor. Ojalá pronto tengamos nuevas buenas noticias, aquí seguiremos para contarlo.


A continuación os dejo enlaces y vídeos relacionados con este problema. Algunos de ellos me han servido para encontrar algún dato para esta entrada y otros son buenas fuentes para ampliar la información aparecida aquí:

Y, para finalizar, algunos pequeños detalles más:

  • Para algunos números (muy, muy pocos) se conocen infinitas soluciones y las parametrizaciones de las mismas. Por ejemplo, para k=1 se conocen estas infinitas soluciones (con t \in \mathbb{Z}):

    1=(9t^4)^3+(3t-9t^4)^3+(1-9t^3)^3

    En Newer sums of three cubes podéis ver más información sobre ello.

  • Aunque se conozcan infinitas soluciones para algunos casos, lo que sabemos del problema de la expresión de un entero positivo como suma de tres cubos enteros es mínimo en la actualidad (pensad que en 2019, con el conocimiento y los medios tecnológicos que poseemos, acabamos de descubrir la expresión para el número 42, un número de dos cifras). Según palabras de Alex Kontorovich, «La suma de los tres cubos es la ruina de la teoría analítica de números moderna».
  • Este problema tiene relación con el conocido como problema de Waring.
  • Y, en relación con lo del 42 y la Guía del autoestopista galáctico, la elección de dicho número fue totalmente azarosa. Lo confirmó el propio Douglas Adams, despejando así todas las dudas y cargándose todas las teorías que circulaban alrededor del 42:

    La respuesta a esto es muy simple. Fue una broma. Tenía que ser un número, un número ordinario y pequeño, y elegí ese. Representaciones binarias, base 13, monjes tibetanos, es todo un completo disparate. Me senté en mi escritorio, miré hacia el jardín y pensé «42 será», y lo escribí. Fin de la historia.

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