Toma una calculadora científica, introduce el número que quieras (púlsalo y después pulsa «=») y a continuación pulsa alternativamente las teclas «cos» e «=» un puñado de veces (cuanto más rato estés, mejor saldrá el experimento).
Toma ahora otro número, el que más te guste, introdúcelo y repite la operación: pulsa alternativamente «cos» e «=» una buena cantidad de veces. ¿Notas algo?
Si quieres, prueba con otro, y con otro más. Ya sea grande, pequeño, positivo negativo, natural o irracional, cualquiera nos vale. ¿Ves qué ocurre? Sigue leyendo y verás por qué.
Por si no has pulsado las teclas lo suficiente, o simplemente no tienes una calculadora científica a mano, te cuento lo que ocurre:
Repito: comiences con el número que comiences. Aquí puedes ver algunos ejemplos (los cálculos se han hecho con Mathematica):
Este número, llamado número de Dottie, resulta ser la única solución de la ecuación (Nota: Debes tener la calculadora configurada para hacer los cálculos en radianes). Con los teoremas de Bolzano y Rolle (y alguna cosita más) no es muy difícil comprobar que esta ecuación tiene una única solución, que, por otra parte, será el punto fijo de la función
. Uniendo ambas cosas ya tenemos que nuestro número de Dottie,
, es la única solución de esta ecuación.
Gráficamente, también lo podemos ver como las coordenadas (son las dos iguales) del único punto de corte de las funciones y
:
Una de las cosas curiosas de este número es que pasa por ser lo que podemos denominar un atractor global. La razón es la que hemos comentado al principio: comencemos en el número que comencemos, el cálculo reiterado del coseno nos lleva, siempre, a .
Y otra de ellas es la historia de su nombre. Aunque el número ya aparecía en algunos tratados de álgebra del siglo XIX (y, posiblemente, se conocía desde antes), se le conoce así desde que Dottie, una catedrática de francés, se dio cuenta de que pulsando sucesivamente la tecla Cos de su calculadora siempre llegaba al mismo número. Preguntó a su marido, matemático, por si sabía algo de este asunto y, después de darle una vuelta al tema durante unos días, éste se dio cuenta de que su mujer había encontrado un simple, a la par que precioso, atractor universal en este número .
Es interesante comentar que el número de Dottie puede expresarse como una serie de potencias de (sí, otra vez Pi por aquí). Más concretamente, la siguiente:
en la que cada coeficiente es un número racional. De hecho, utilizando el desarrollo de Taylor de la función
, se puede encontrar una expresión para estos coeficientes. Como es bastante fea, os dejo solamente los primeros términos:
En los enlaces que aparecen al final de esta entrada, podéis encontrar más información sobre esto en el que corresponde a Ozaner’s notes.
Por cierto, el número de Dottie es trascendente. Vamos a demostrarlo usando tres cosas:
- La identidad fundamental de la trigonometría:
- La fórmula de Euler:
- El teorema de Lindemann-Weierstrass, que en una de sus formulaciones dice lo siguiente:
Vamos a por ella:
Otra curiosidad: la de la serie que comentamos un poco más arriba no es la única aparición de nuestro amado número en relación con el número de Dottie, ya que la siguiente es una aproximación bastante buena (seis decimales exactos) de
Y, como sé que lo estáis deseando, aquí tenéis nada menos que 640000 decimales del número de Dottie: Nueva constante matemática fundamental (hasta 6400000 cifras decimales).
Fuentes y más información:
- The Dottie Number (pdf), artículo de Samuel R. Kaplan.
- Expansión decimal del número de Dottie en la OEIS.
- Dottie Number, en Ozaner’s Notes.
Esta entrada participa en la Edición 11.7 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza el gran Pedro Daniel Pajares desde su blog A Todo Gauss.
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Pues en la calculadora del iPhone a mí me sale otra constante: 0,999847741531088 ; por qué??
Muy sencillo: porque la calculadora debe estar en radianes. Olvidé indicarlo en la entrada, sorry.
Gracias! Y la explicación sirve exactamente igual de por qué en grados también sale una constante, o es algo diferente?
Modifica el artículo para indicarlo al principio, si eres tan amable. A mí me ha ocurrido lo mismo que a Pablo. Y ya que estamos, una pregunta: el número que se obtiene realizando esa operación en grados sexagesimales ¿es también trascendente? ¿Alguien lo ha estudiado? ¿Es una constante matemática? Yo obtengo el mismo número con la calculadora del PC y supongo que sucederá lo mismo que con el número de Dottie, que siempre se llega al mismo resultado independientemente del número de partida ¿o no es así? ¿Converge siempre esta función a un mismo número, diferente segun la base utilizada?… Lee más »
Ya he incluido en el artículo lo de los radianes (perdón por el retraso, lo había olvidado).
Sobre la constante que aparece con el coseno y la caculadora en grados no tengo información, pero sospecho que se puede hacer un razonamiento del estilo al caso de los radianes. Quizás sería interesante invertigar el asunto.
Para el seno, si no me equivoco, en ambos casos se llega a 0, por lo que tiene menos interés que el caso del coseno.