Toma una calculadora científica, introduce el número que quieras (púlsalo y después pulsa «=») y a continuación pulsa alternativamente las teclas «cos» e «=» un puñado de veces (cuanto más rato estés, mejor saldrá el experimento).

Toma ahora otro número, el que más te guste, introdúcelo y repite la operación: pulsa alternativamente «cos» e «=» una buena cantidad de veces. ¿Notas algo?

Si quieres, prueba con otro, y con otro más. Ya sea grande, pequeño, positivo negativo, natural o irracional, cualquiera nos vale. ¿Ves qué ocurre? Sigue leyendo y verás por qué.

Por si no has pulsado las teclas lo suficiente, o simplemente no tienes una calculadora científica a mano, te cuento lo que ocurre:

Comiences con el número que comiences, si calculas su coseno, y el coseno del resultado, y así sucesivamente, los valores obtenidos ser irán acercando cada vez más al número

0,7390851332151606416553120876738734040134 \ldots

Repito: comiences con el número que comiences. Aquí puedes ver algunos ejemplos (los cálculos se han hecho con Mathematica):

Este número, llamado número de Dottie, resulta ser la única solución de la ecuación cos(x)=x (Nota: Debes tener la calculadora configurada para hacer los cálculos en radianes). Con los teoremas de Bolzano y Rolle (y alguna cosita más) no es muy difícil comprobar que esta ecuación tiene una única solución, que, por otra parte, será el punto fijo de la función f(x)=cos(x). Uniendo ambas cosas ya tenemos que nuestro número de Dottie, \textbf{d}, es la única solución de esta ecuación.

Gráficamente, también lo podemos ver como las coordenadas (son las dos iguales) del único punto de corte de las funciones f(x)=cos(x) y g(x)=x:

Una de las cosas curiosas de este número es que pasa por ser lo que podemos denominar un atractor global. La razón es la que hemos comentado al principio: comencemos en el número que comencemos, el cálculo reiterado del coseno nos lleva, siempre, a \textbf{d}.

Y otra de ellas es la historia de su nombre. Aunque el número ya aparecía en algunos tratados de álgebra del siglo XIX (y, posiblemente, se conocía desde antes), se le conoce así desde que Dottie, una catedrática de francés, se dio cuenta de que pulsando sucesivamente la tecla Cos de su calculadora siempre llegaba al mismo número. Preguntó a su marido, matemático, por si sabía algo de este asunto y, después de darle una vuelta al tema durante unos días, éste se dio cuenta de que su mujer había encontrado un simple, a la par que precioso, atractor universal en este número \textbf{d}.

Es interesante comentar que el número de Dottie puede expresarse como una serie de potencias de \pi (sí, otra vez Pi por aquí). Más concretamente, la siguiente:

\textbf{d}=\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} a_n \ \pi^{2n+1}}

en la que cada coeficiente a_n es un número racional. De hecho, utilizando el desarrollo de Taylor de la función h(x)=cos(x)-x, se puede encontrar una expresión para estos coeficientes. Como es bastante fea, os dejo solamente los primeros términos:

a_1=\cfrac{1}{4} \ ; \ a_2=-\cfrac{1}{768} \ ; \ a_3=-\cfrac{1}{61440} \ ; \ a_4 =-\cfrac{1}{165150720} \ \ldots

En los enlaces que aparecen al final de esta entrada, podéis encontrar más información sobre esto en el que corresponde a Ozaner’s notes.

Por cierto, el número de Dottie es trascendente. Vamos a demostrarlo usando tres cosas:

  • La identidad fundamental de la trigonometría: sen^2(\alpha)+cos^2(\alpha)=1
  • La fórmula de Euler: e^{i \alpha}=cos(\alpha)+i \ sen(\alpha)
  • El teorema de Lindemann-Weierstrass, que en una de sus formulaciones dice lo siguiente:
    Si \alpha es un número algebraico no nulo, entonces e^{\alpha} es trascendente.

Vamos a por ella:

Teorema:: El número de Dottie, \textbf{d}, es un número trascendente.

Demostración:

De sen^2(\textbf{d})+cos^2(\textbf{d})=1, usando que cos(\textbf{d})=\textbf{d}, obtenemos que

sen(\textbf{d})=\sqrt{1-\textbf{d}^2}

Tomamos la fórmula de Euler y colocamos toda la información que tenemos hasta ahora. Nos queda lo siguiente:

e^{i \textbf{d}}=cos(\textbf{d})+i \ sen(\textbf{d})= d+i \ \sqrt{1-\textbf{d}^2}

Si suponemos que \textbf{d} es algebraico, entonces tenemos lo siguiente:

  • La parte izquierda de la igualdad es un número trascendente, por el teorema de Lindemann-Weierstrass.
  • La parte derecha de la igualdad es un número algebraico, ya que 1, i y \textbf{d} son todos algebraicos y las operaciones que aparecen en esa parte derecha no modifican esta característica.

Por tanto, tenemos que un número trascendente es igual a un número algebraico, hecho que es imposible. Esta contradicción se produce por suponer que \textbf{d} es algebraico, lo que nos lleva a que el número de Dottie, \textbf{d}, es trascendente.

Otra curiosidad: la de la serie que comentamos un poco más arriba no es la única aparición de nuestro amado número \pi en relación con el número de Dottie, ya que la siguiente es una aproximación bastante buena (seis decimales exactos) de \textbf{d}

\textbf{d}=\sqrt[13]{\cfrac{\pi}{160}}

Y, como sé que lo estáis deseando, aquí tenéis nada menos que 640000 decimales del número de Dottie: Nueva constante matemática fundamental (hasta 6400000 cifras decimales).

Fuentes y más información:

Esta entrada participa en la Edición 11.7 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza el gran Pedro Daniel Pajares desde su blog A Todo Gauss.

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