Este artículo es una colaboración de Fede enviada por mail a gaussianos (arroba) gmail (punto) com

Tenemos en la figura un triángulo ABC en negro, con los trisectores interiores de cada ángulo en gris y los trisectores exteriores de cada ángulo en verde.

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En 1899 Frank Morley descubrió el resultado que ahora se conoce como teorema de Morley:

Los puntos de intersección de los trisectores de los ángulos de cualquier triángulo ABC determinan triángulos equiláteros

En la imagen podemos verlos en azul:

– Los trisectores interiores adyacentes a cada lado se cortan en 3 puntos D, E y F que son los vértices de un triángulo equilátero.

– Los trisectores exteriores adyacentes a cada lado se cortan en 3 puntos G, H y I que son los vértices de un triángulo equilátero.

– El trisector interior por A adyacente al lado AB y el trisector exterior por B adyacente al lado AB se cortan en punto J. El trisector interior por A adyacente al lado AC y el trisector exterior por C adyacente al lado AC se cortan en punto K. Los trisectores exteriores por B y C adyacentes al lado BC se cortan en un punto G. Los puntos J, K y G son los vértices de un triángulo equilátero. Análogamente para los otros ángulos.

Podemos encontrar demostraciones del teorema de Morley en esta revista o en este sitio.

Como esas demostraciones son para el triángulo formado por las intersecciones de los trisectores interiores, damos una aquí para el triángulo formado por las intersecciones de los trisectores exteriores.

Si \angle CBA = 3b, el ángulo entre los lados y los trisectores interiores y entre éstos es igual a b y el ángulo entre los lados y los trisectores exteriores y entre éstos es igual a \ 60^{\circ} - b.

Trisectores exteriores

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Demostramos que el triángulo formado por los trisectores exteriores adyacentes a cada lado es equilátero. Para ello usamos el siguiente lema:

Lema:

Sobre dos lados PQ y PR de un triángulo equilátero PQR construimos hacia el exterior triángulos PQH y PRG como en la figura, de forma que \angle PQH = \angle PRG = a,\ \ \angle RPG = b y \ \angle QPH = c.
Reflejamos el triángulo PQH sobre PH para obtener el triángulo PQ^\prime H y el triángulo PRG sobre PG para obtener el triángulo PR^\prime G.

Lema:

En la construcción anterior, si a + b + c = 60^{\circ} , los puntos G y H están en la recta R^\prime Q^\prime y \angle PGH = a + b.

Porque como \angle R^\prime PQ^\prime = 2b + 60^{\circ} + 2c < 180^{\circ} y el triángulo R^\prime PQ^\prime es isósceles, porque PR^\prime y PQ^\prime son iguales al lado del triángulo equilátero, tenemos que \angle PR^\prime Q^\prime = \angle PQ^\prime R^\prime = a, porque 2a + 2b + 2c + 60^{\circ} = 180^{\circ}. Pero por construcción también \angle PR^\prime G = \angle PQ^\prime H = a, luego los puntos G y H están en la recta R^\prime Q^\prime.

Y por tanto \angle PGH = 180^{\circ} - \angle PGR^\prime = 180^{\circ} - \angle PGR = a+b = 60^{\circ} - c.


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Ahora, si tenemos un triángulo cualquiera ABC, con \ \angle BAC = 3a,\ \angle ABC = 3b,\ \angle BCA = 3c, construimos sobre los lados de un triángulo equilátero PQR , triángulos PRG, PQF y QPH haciendo ángulos a,\ b,\ c,\ a,\ b,\ c con los lados del triángulo equilátero como en la figura.

Entonces, por el lema anterior, como a + b + c = 60^{\circ}, \ \angle PGH = 60^{\circ}-c, \ \angle RGF = 60^{\circ} - c. Pero como \ \angle RGP = 120^{\circ} + c, resulta que \begin{matrix} \ \angle FGH = \angle RGP - \angle PGH - \angle RGF = \\ = 120^{\circ} + c - (60^{\circ}-c) - (60^{\circ}-c) = 3c \end{matrix}.

De la misma forma obtenemos \angle GFH = 3a y \angle FHG = 3b. Por lo tanto el triángulo FHG es semejante al triángulo ABC. Pero como \angle PGH = \angle RGF = 60^{\circ}-c , las lineas GP y GR son trisectores exteriores de FHG, y también FR, FQ, HQ y HF. Y estos trisectores exteriores se cortan en P, Q y R que son los vértices de un triángulo equilátero. Y como la semejanza preserva los ángulos, y ABC es semejante a FHG, en nuestro triángulo original ABC también los puntos se intersección de los trisectores exteriores serán vértices de un triángulo equilátero, como queríamos demostrar.


Trigonométricamente se demuestra que el lado del triángulo equilátero formado por la intersección de los trisectores exteriores es 8R \ \mathrm{sen}(a+120^{\circ})\ \mathrm{sen}(b+120^{\circ})\ \mathrm{sen}(c+120^{\circ}), donde R es el radio del círculo circunscrito.

La importancia de este teorema radica en que la trisección de un ángulo no es resoluble con regla y compás. Esta es la razón principal por la cual se cree que el enunciado y demostración de este teorema tan sencillo e intuitivo se le escapó a los griegos, ya que ellos no consideraban los resultados relacionados con operaciones que no pudieran hacerse con regla y compás, y no se publicó hasta finales del siglo XIX, cuando los matemáticos se atreven a considerar propiedades de figuras no construibles con estas normas.

Como última curiosidad, al parecer el propio Morley no estaba demasiado contento con el descubrimiento de este teorema, ya que los matemáticos del momento se centraron en él por su sencillez y por lo inesperado del resultado y dejaron a un lado el resto de sus trabajos.

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