La hipopede de Eudoxo

Inauguramos una nueva categoría en el blog llamada Curvas famosas con esta colaboración de fede enviada a gaussianos (arroba) gmail (punto) com. Espero que os resulte interesante.

Eudoxo de Cnidos

Eudoxo de Cnidos fue un filósofo, astrónomo, matemático y médico griego, pupilo de Platón. Nada de su obra ha llegado a nuestros días; todas las referencias con las que contamos provienen de fuentes secundarias. Nació en Cnido, actualmente en Turquía, sobre el 400 a.C.

Sus aportaciones principales son la invención de la esfera astronómica y aportes para comprender el movimiento de los planetas (en astronomía) y su trabajo de la teoría de la proporción y cálculo de ciertos volúmenes mediante el método de exhaución creado por él mismo (en matemáticas). En este artículo vamos a hablar sobre una curva que él mismo introdujo: la hipopede.

La hipopede de Eudoxo

Supongamos una esfera con centro que gira alrededor de un eje . Sea un punto en esa esfera que gira y sea un punto de intersección de los círculos máximos perpendiculares a y . Si mientras gira la esfera un punto parte de y se mueve por el círculo máximo perpendicular a a la misma velocidad angular que la esfera y en sentido contrario, ese punto describe una curva con forma de 8 en el espacio.

Según cuenta Simplicio, comentarista de Aristóteles del siglo VI, e interpretó Schiaparelli, Eudoxo llamó hipopede a esa curva.

Si es el punto del espacio en que coinciden en su movimiento y , el ángulo es siempre igual al ángulo .

Schiaparelli observó que la hipopede es la intersección de la esfera con un cilindro tangente interiormente a la esfera en el punto y que también es la intersección de la esfera con un cono cuyo eje es tangente a la esfera por y paralelo a , y dio una demostración elemental de estos hechos, pero la prueba que sigue es más sencilla.

Suprimimos el giro de la esfera, pero dejamos que se siga moviendo por su círculo máximo (círculo de la figura), alejándose de . Si al mismo tiempo que sale de salen de dos puntos y moviéndose por el círculo máximo perpendicular a (círculo de la figura) en sentidos opuestos y a la misma velocidad angular que sobre su círculo, el plano en que están , y en cada instante será siempre paralelo al plano tangente a la esfera en .

Ese plano corta a la esfera en un círculo de diámetro y por tanto el ángulo es recto. Entonces el ángulo es complementario del ángulo . Si es perpendicular al plano , el ángulo también es complementario del ángulo , y entonces los ángulos y son iguales.

Pero el ángulo inscrito en el círculo de diámetro es la mitad del ángulo central para el mismo arco, que es el ángulo entre los planos y .

Por tanto el ángulo entre las rectas y es constante. Y como los triángulos , en sus diferentes posiciones, son semejantes, la razón es constante, donde es el pie de la perpendicular desde sobre .

Ahora, si hacemos girar la esfera alrededor del eje a la misma velocidad angular que el punto y en sentido contrario, el punto quedará fijo en el espacio en la posición que ocupaba y el punto describirá la hipopede. Como el ángulo entre y es constante, es generatriz de un cono con eje , y como es constante, el punto describe una curva que es el resultado de aplicar una homotecia con centro a la curva que describe el punto , es decir, describe un círculo. Y como la hipopede se proyecta sobre ese círculo, está en un cilindro.

Como corolario obtenemos que la curva intersección de un cilindro con un cono cuyo eje sea una generatriz del cilindro es una hipopede de Eudoxo y por tanto una curva esférica.

En la reconstrucción por Schiaparelli de la teoría astronómica de las esferas homocéntricas de Eudoxo, el movimiento del planeta sobre la hipopede que producen las dos esferas más interiores (de las 4 que usa para cada planeta) sirve para explicar las retrogradaciones planetarias, es decir los retrocesos transitorios que se observan en las trayectorias de los planetas vistos desde la Tierra moviéndose sobre el fondo de estrellas fijas.