Inauguramos una nueva categoría en el blog llamada Curvas famosas con esta colaboración de fede enviada a gaussianos (arroba) gmail (punto) com. Espero que os resulte interesante.
Eudoxo de Cnidos
Eudoxo de Cnidos fue un filósofo, astrónomo, matemático y médico griego, pupilo de Platón. Nada de su obra ha llegado a nuestros días; todas las referencias con las que contamos provienen de fuentes secundarias. Nació en Cnido, actualmente en Turquía, sobre el 400 a.C.
Sus aportaciones principales son la invención de la esfera astronómica y aportes para comprender el movimiento de los planetas (en astronomía) y su trabajo de la teoría de la proporción y cálculo de ciertos volúmenes mediante el método de exhaución creado por él mismo (en matemáticas). En este artículo vamos a hablar sobre una curva que él mismo introdujo: la hipopede.
La hipopede de Eudoxo
Supongamos una esfera con centro
que gira alrededor de un eje
. Sea un punto
en esa esfera que gira y sea
un punto de intersección de los círculos máximos perpendiculares a
y
. Si mientras gira la esfera un punto
parte de
y se mueve por el círculo máximo perpendicular a
a la misma velocidad angular que la esfera y en sentido contrario, ese punto
describe una curva con forma de 8 en el espacio.
Según cuenta Simplicio, comentarista de Aristóteles del siglo VI, e interpretó Schiaparelli, Eudoxo llamó hipopede a esa curva.
Si es el punto del espacio en que coinciden en su movimiento
y
, el ángulo
es siempre igual al ángulo
.
Schiaparelli observó que la hipopede es la intersección de la esfera con un cilindro tangente interiormente a la esfera en el punto y que también es la intersección de la esfera con un cono cuyo eje es tangente a la esfera por
y paralelo a
, y dio una demostración elemental de estos hechos, pero la prueba que sigue es más sencilla.
Suprimimos el giro de la esfera, pero dejamos que se siga moviendo por su círculo máximo (círculo
de la figura), alejándose de
. Si al mismo tiempo que
sale de
salen de
dos puntos
y
moviéndose por el círculo máximo perpendicular a
(círculo
de la figura) en sentidos opuestos y a la misma velocidad angular que
sobre su círculo, el plano en que están
,
y
en cada instante será siempre paralelo al plano tangente a la esfera en
.
Ese plano corta a la esfera en un círculo de diámetro y por tanto el ángulo
es recto. Entonces el ángulo
es complementario del ángulo
. Si
es perpendicular al plano
, el ángulo
también es complementario del ángulo
, y entonces los ángulos
y
son iguales.
Pero el ángulo inscrito en el círculo de diámetro
es la mitad del ángulo central para el mismo arco, que es el ángulo entre los planos
y
.
Por tanto el ángulo entre las rectas y
es constante. Y como los triángulos
, en sus diferentes posiciones, son semejantes, la razón
es constante, donde
es el pie de la perpendicular desde
sobre
.
Ahora, si hacemos girar la esfera alrededor del eje a la misma velocidad angular que el punto
y en sentido contrario, el punto
quedará fijo en el espacio en la posición que ocupaba
y el punto
describirá la hipopede. Como el ángulo entre
y
es constante,
es generatriz de un cono con eje
, y como
es constante, el punto
describe una curva que es el resultado de aplicar una homotecia con centro
a la curva que describe el punto
, es decir, describe un círculo. Y como la hipopede se proyecta sobre ese círculo, está en un cilindro.
Como corolario obtenemos que la curva intersección de un cilindro con un cono cuyo eje sea una generatriz del cilindro es una hipopede de Eudoxo y por tanto una curva esférica.
En la reconstrucción por Schiaparelli de la teoría astronómica de las esferas homocéntricas de Eudoxo, el movimiento del planeta sobre la hipopede que producen las dos esferas más interiores (de las 4 que usa para cada planeta) sirve para explicar las retrogradaciones planetarias, es decir los retrocesos transitorios que se observan en las trayectorias de los planetas vistos desde la Tierra moviéndose sobre el fondo de estrellas fijas.
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Muy buen articulo. Lo mejor es que se puede ver por medio de la geometría dinámica al igual que por medio de geometría solida
La hipopede de Eudoxo…
Esto es solo para aquellos que gustan de las matemáticas. En este caso tenemos como se forma la curva denominada: Hipopede de Eudoxo. Al ver la gráfica resulta muy claro su formación … otra cosa es demostrarla…
Dudas:
– ¿La inclinación de OM es importante? ¿Podría ser cualquier otra entre 0 y 90º?
– ¿La hipopede siempre llega a ser tangente a la circunferencia que describe M?
Toro Sentado, la inclinación de OM puede ser cualquiera, y solo cuando sea 45º el circulo de M será tangente a la hipopede. En la primera figura la inclinación es 45º, pero no es intencionado.
Incluso el ángulo MON podría ser mayor que 90, por lo que la mención ‘y en sentido contrario’ no es necesaria (para la propiedad de que es intersección de un cono con un cilindro), aunque en Eudoxo si van en sentido contrario.
Gracias Fede
excelente articulo
Otra duda:
¿Con qué programa habéis construído estas imágenes geométricas?
Las figuras y animaciones están hechas con Wingeom.
( Para pasarlas a ficheros y hacer los gifs, se ha usado además un programa de macros de teclado y un programita Java adhoc y finalmente ImageMagick, porque Wingeom no guarda gifs animados )
[…] por primera vez mediante la observación anterior. Al fin y al cabo parece que Arquitas y Eudoxo estaban familiarizados en la primera mitad del siglo IV a.C. con la geometría de la […]
ESTARIAMOS HABLANDO DE GEOMETRIA EN 3D Y 4D?.
Un articulo muy interesante. Y la animación que lo acompaña es una pasada, por cierto.