La cicloide: ¿cuál es el camino más corto?

Este artículo es mi aportación a la segunda edición del Carnaval de matemáticas organizada por Juan Pablo.

Introducción

El mundo de las curvas es un mundo realmente interesante. Podemos encontrarnos formas de muchos tipos, desde las más conocidas comoun segmento (sí, aunque a mucho les sorprenda un segmento es una curva en el sentido matemático del concepto) o una porción de circunferencia, hasta algunas la hipopede de Eudoxo o la cuadratriz.

Siento este mundo de las curvas tan extenso podemos encontrar muchas con características muy interesante. La cicloide es, sin lugar a dudas, una de ellas. Tiene unas propiedades muy curiosas que al ser vistas chocan con nuestra propia intuición. Esta curva va a ser la protagonista de este artículo.

¿Qué es la cicloide?

Comencemos este punto presentando a nuestra amiga la cicloide:

La cicloide es la curva trazada por un punto de una circunferencia (llamada circunferencia generatriz) cuando ésta gira sobre una línea (llamada recta directriz) sin deslizarse por ella.

Es decir, la cicloide es la curva que aparece en rojo en el siguiente gráfico:

Dada una circunferencia de radio y un punto de la misma situado en el origen de coordenadas, las ecuaciones paramétricas de un arco de la cicloide generada por ese punto al girar la circunferencia sobre el eje son:

, con

La cicloide ha sido una curva muy estudiada a lo largo de la historia. Ya a finales del siglo XVI, Galileo había estudiado esta curva, obteniendo ciertas aproximaciones sobre cálculos relacionados con ella (en concreto sobre el área encerrada por un arco de cicloide). Mersenne, posiblemente después de conocer estos estudios de Galileo, llamó la atención de los matemáticos de esta época (estamos ya en el siglo XVII) hacia esta curva. Y muchos fueron los que acudieron al llamamiento. Tanta fue la expectación creada por esta curva que acabó por conocerse como la Helena de los geómetras por la cantidad de disputas entre matemáticos que provocaron los estudios relacionados con ella.

El caso es que uno de los primeros que consiguieron resultados sobre la cicloide fue Roberval. Mersenne le propuso en 1628 el estudio de esta curva y unos años después, sobre 1634, Roberval demostró que el área encerrada por un arco de cicloide es exactamente tres veces el área de la circunferencia que la genera. Más adelante también encontró un método para trazar la tangente a la cicloide un punto cualquiera de la misma (problema resuelto también por Fermat y Descartes) y realizó cálculo relacionados con volúmenes de revolución asociados a la cicloide.

Roberval no publicó estos resultados en su momento, ya que quería guardarlos en cierto secreto para utilizarlos como problemas a proponer a los candidatos a su cátedra. Por ello, cuando Torricelli (matemático que también se interesó por esta curva) publicó sus soluciones a varias de las cuestiones resueltas por Roberval sin mencionarle, creyó que se trataba de plagio. Pero los estudios de Torricelli se habían desarrollado de forma independiente a los de Roberval. Al final la historia fue justa con los dos: Roberval fue el primero en encontrar las soluciones y Torricelli el primero en publicarlas.

Pero la cosa no quedó ahí. En 1658 Christopher Wren calculó que la longitud de un arco de cicloide es cuatro veces el diámetro de la circunferencia que genera dicha curva. Y muchos más fueron los matemáticos que dedicaron parte de su tiempo a ella, entre los que se encuentran los ilustres Pascal, Huygens, Leibniz, Newton, Jakob y Johann Bernoulli…

¿Qué propiedades tiene?

El gran interés suscitado por esta curva proviene de las curiosas características que posee. Aparte de los cálculos ya mencionados, la cicloide tiene dos propiedades realmente interesantes y que, como dije al principio del artículo, en cierto modo atentan contra nuestra intuición. Concretamente son su condición de braquistócrona y su condición de tautócrona. Vamos a intentar explicar qué significan estas dos propiedades.

Braquistocronía

El término braquistócrona significa el menor tiempo. El problema de la braquistócrona puede enunciarse de la siguiente forma:

Dado un punto en un plano y otro punto del mismo plano situado verticalmente más abajo que (sin llegar a estar verticalmente justo debajo de ), encontrar la curva que une y que hace mínimo el tiempo que tarda un punto móvil en llegar de a al estar sometido a la acción de la gravedad

La situación de los puntos es algo así:

En principio no sería extraño pensar que esa curva es una línea recta (un segmento en este caso), ya que en un plano una recta representa la distancia más corta entre dos puntos. Pero no estamos hablando de distancias, sino de tiempos. ¿La respuesta seguirá siendo también la recta? Veamos este vídeo en el que aparecen dos cicloides y un segmento y respondamos después:

Como se puede ver las bolas (el punto móvil ) llegan antes al destino cuando bajan por la cicloide. Es decir, que en la cicloide el tiempo de recorrido es menor que en un segmento. De hecho la cicloide minimiza este tiempo de recorrido, es decir, la cicloide es la braquistócrona. Curioso, ¿verdad?

Tautocronía

La braquistocronía no es la única propiedad curiosa de la cicloide. De hecho tiene una que es más sorprendente si cabe. Podríamos enunciarla de la siguiente manera:

Supongamos que tenemos una cicloide que «cuelga» hacia abajo y que dejamos caer a lo largo de ella dos bolas desde diferentes puntos. La cuestión es que da igual desde qué puntos las dejemos caer ya que las bolas llegan a la vez al punto más bajo.

Esta propiedad se denomina tautocronía (que significa mismo tiempo). Vamos a verlo en un vídeo:

Para finalizar os dejo este enlace. Me ha parecido interesante porque pinchando en cada uno de las cuadrículas que aparecen creamos cicloides y podemos ver gráficamente las dos propiedades comentadas anteriormente.

Fuentes:

• Historia de la matemática, de Carl B. Boyer.
• Cicloide en la Wikipedia española.