Apolonio de Perga (hacia 220 a.C), en la proposición 11 del libro I de Las Cónicas, llama parábolas a las curvas que desde entonces se conocen con ese nombre.
En esa proposición deduce el symptoma (o propiedad característica) de la parábola, equivalente a lo que para nosotros, desde el siglo XVII, es la ecuación de la curva.
Si cada paralela a una dirección dada corta a una curva en 2 puntos y los puntos medios de los segmentos entre esos 2 puntos están en una misma recta, Apolonio llama a esa recta un diámetro de la curva. Si es perpendicular a las paralelas, esa recta es llamada eje de la curva.
El symptoma de la parábola obtenido por Apolonio está ilustrado en la siguiente figura:
Apolonio empieza el libro I de Las Cónicas considerando en general una superficie cónica oblicua, generada por una recta que pasa por un vértice y por los puntos de una circunferencia base cuyo plano no contiene al vértice. Define el eje del cono como la recta que pasa por el vértice y por el centro de la circunferencia base.
Supongamos un plano que no pasa por el vértice y que corta al plano de la base en una recta
y a la superficie cónica en una curva que llamaremos sección cónica.
Sea el diámetro de la circunferencia base perpendicular a la recta
en que
corta al plano base.
Llamamos triangulo axial (correspondiente al plano ) al triángulo
.
La recta , intersección del plano
con el triángulo axial es un diámetro de la sección cónica, porque las paralelas a
en el plano
, que llamaremos ordenadas, cortan a la sección en dos puntos cuyo punto medio está en
.
La figura de la izquierda presenta diferentes posiciones que puede tener el plano cuando el diámetro
es paralelo a uno de los lados del triángulo axial.
El diámetro de la sección sólo cortará a las ordenadas en ángulo recto si el triángulo axial es perpendicular al plano base.
Sea cualquier punto de la sección cónica. El plano paralelo a la base que pasa por
corta a la superficie cónica en una circunferencia y la recta paralela a
que pasa por
corta al diámetro
de la sección en un punto
.
En la proposición I.11, Apolonio demuestra que si el diámetro es paralelo a uno de los lados del triángulo axial,
, donde
es constante para todos los puntos de la sección:
Sea un segmento tal que
. Entonces
es constante para un plano
dado.
Pero y
.
Luego y como
(Euclides II.14),
tenemos que , que es la propiedad característica de la parábola ilustrada más arriba.
Apolonio concluye la proposición I.11 así:
Llamemos parábola a tal sección. En cuanto al segmento
, llamemosle la recta a la cual se aplica el área
sobre el diámetro
. Llamemosla también el lado recto.
(Apolonio usa la palabra griega ortia, traducida al latín como latus rectum.)
En el libro I, Apolonio demuestra, entre otras cosas, que cualquier paralela a un diámetro de una parábola es
también un diámetro (para otra dirección de las ordenadas y otro lado recto) y da la relación entre los lados
rectos que corresponden a los diferentes diámetros. El libro I expone también la teoría de los diámetros conjugados de las cónicas centrales.
Este artículo es una nueva colaboración de fede, uno de los grandes colaboradores de Gaussianos.
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