En Gaussianos hemos visto ya unas cuantas demostraciones de la irracionalidad de algunos números reales. Entre ellas, podemos destacar la irracionalidad de Pi (y II) y la irracionalidad de e (y II), pero posiblemente sea la irracionalidad de raíz de 2 la que más se ha visto por aquí.
Sobre ella podéis encontrar varios artículos en el blog. Os dejo algunos enlaces:
- Dos demostraciones de la irracionalidad de raíz de 2.
- Una demostración geométrica de la irracionalidad de raíz de 2.
- (Posiblemente) La demostración más elemental de la irracionalidad de raíz de dos.
y uno más general sobre la irracionalidad de :
Hoy vamos a ver una demostración elemental (en el sentido de los conocimientos que utiliza) de que es irracional, siempre que
no sea un cuadrado perfecto. Vamos con ella:
Teorema: Si
no es un cuadrado perfecto, entonces
es un número irracional.
Demostración:
Como
no es un cuadrado perfecto, entonces
no es un número entero, por lo que sea racional (no entero) o irracional. Esto significa que podemos encontrar un número entero
tal que
se encuentra entre
y
:
Lo que vamos a demostrar es que
es irracional (lo que, sabiendo que
es un número entero, implicaría que
también es irracional).
Supongamos que
no es irracional. Por su propia definición, se tiene que
, por lo que, si no es irracional, será de la forma
siendo
. Podemos asumir sin ningún problema que
es lo más pequeño posible. Si tomamos la fracción inversa y operamos un poco obtenemos lo siguiente:
Multiplicamos ahora numerador y denominador por el conjugado del denominador actual,
, y seguimos operando:
Hemos llegado a la siguiente igualdad:
Ahora despejamos
:
Acabamos de obtener que
se puede expresar mediante una fracción cuyo denominador,
, es más pequeño que el denominador anterior,
(por definición,
era menor que
). Pero eso es imposible, ya que habíamos supuesto que
era el menor denominador posible.
Esta contradicción proviene del hecho de suponer que
es un número racional. En consecuencia,
es irracional, lo que implica que
también es un número irracional.
Creo que es la primera demostración de este hecho que publico en Gaussianos, salvo las cuestiones sobre ello que se hayan tratado en los comentarios de alguna entrada. Si encontráis algo sobre ello en alguna entrada o comentario de este blog os agradecería que nos lo comunicarais en los comentarios.
Demostración de Harley Flanders a partir de una demostración de Theodor Estermann. Vía Fermat’s Library.
imagen tomada de aquí.
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Conjetura
La solucion de una funcion aleatoria es un variable determinitica
Contradiccion del concepto de Kolmogorov respecto a un campo probabilistico
Copio y pego lo siguiente para quien interese y pueda entenderlo completamente. De cómo la factorización de un entero grande en el menor tiempo posible es una cuestión algorítmica y matemática compleja, al alcance sólo de los especialistas. (Y de cómo los problemas computacionales son problemas de alta matemática, aunque hay gente que cree erróneamente que los computadores matan a la matemática y eso no es cierto). We report on a discrete logarithm computation in GF(p^5) for a 20-decimal digit prime, using the number field sieve algorithm (NFS-DL), and a relation collection phase over degree-two polynomials, instead of the more… Lee más »
¿Y por qué conformarnos con raíces cuadradas? Decir que existe un numero entero cuya raíz enésima es un racional no entero, equivale a decir que existe un racional no entero cuyo potencia enésima es un entero. Si existe este número racional y es de la forma (irreducible) a/b, entonces tenemos que b es distinto de 1, y mcd(a, b) = 1 Pero a^n/b^n no puede ser un entero. Porque b^n es diferente de 1, y si mcd(a^n, b^n) = d (diferente de 1), entonces tenemos que p (un factor primo cualquiera de d) divide a a^n, y b^n, pero entonces… Lee más »
Me parece una demostración excesivamente complicada. Aquí va una más simple: asumamos que la raíz de n es un número racional (no entero) a/b, siendo a y b coprimos. n=(a/b)^2=a^2/b^2. Pero a^2 y b^2 también tienen que ser coprimos porque no tienen factores primos en común (a^2 tiene los mismos factores primos que a pero con los exponentes del doble). Por tanto, y dado que ninguno de los dos cuadrados es uno (a/b no es entero), n no es entero.
+Ferran …lo mismo que sucede para (a/b)^2, también sucede para (a/b)^3, (a/b)^4 ..etc. y es que al ser (a, b) sin ningún factor primo en común (son coprimo: su descomposición en factores primos, no contiene ninguno en común) sucede lo mismo con (a^2, b^2), (a^3, b^3), (a^4, b^4), … etc no? esta bien la demostración? esta completa?
…las preguntas (no? esta bien la demostración? esta completa?), se refieren a que si [ la demostración buscada se puede reducir a la demostración de que la potencia natural* de un racional irreducible* y no-entero* nunca puede ser un entero ]? *irreductible: los números naturales a y b (de la fracción a/b), tienen una descomposición en factores primos, con ningún factor primo en común. (si tuviesen algun primo en comun, la fraccion se podria simplificar, o sea que no sería irreductible) *no-entero: b diferente de 1 ____________________ ejemplo: con a=2^3 por 5 = 8*5 = 40 tiene los primos 2… Lee más »
Sres Gaussianos, no he podido publicar en los comentarios una fórmula generadora de primos. simplemente no me la publican como hago?
Se puede establecer una forma generalizada de un irraciinal como la suma de un racional más la raíz de un racional?
No. Quedarían pendientes en tu fórmula los irracionales trascendentes.
Demostrar que si la raíz n-ésima de un número natural A no es un número entero, entonces es un número irracional. Demostración. Supongamos que (A)^(1/n) = a/b, donde (a/b) es un número racional mayor que un cierto entero positivo E y menor que (E+1). a y b no tienen factores primos comunes. Al elevar al exponente n en ambos miembros, se obtiene: (a/b)^n = A (*). Sea F = (f1,f2, … , fk) el conjunto de los factores primos de a, y sea G = (g1,g2, … , gl) el conjunto de los factores primos de b. Sabemos que F… Lee más »