En Gaussianos hemos visto ya unas cuantas demostraciones de la irracionalidad de algunos números reales. Entre ellas, podemos destacar la irracionalidad de Pi (y II) y la irracionalidad de e (y II), pero posiblemente sea la irracionalidad de raíz de 2 la que más se ha visto por aquí.

Sobre ella podéis encontrar varios artículos en el blog. Os dejo algunos enlaces:

y uno más general sobre la irracionalidad de \sqrt[n]{2}:

Hoy vamos a ver una demostración elemental (en el sentido de los conocimientos que utiliza) de que \sqrt{m} es irracional, siempre que m no sea un cuadrado perfecto. Vamos con ella:

Teorema: Si m no es un cuadrado perfecto, entonces \sqrt{m} es un número irracional.

Demostración:

Como m no es un cuadrado perfecto, entonces \sqrt{m} no es un número entero, por lo que sea racional (no entero) o irracional. Esto significa que podemos encontrar un número entero n tal que \sqrt{m} se encuentra entre n y n+1:

n < \sqrt{m} < n+1

Lo que vamos a demostrar es que a=\sqrt{m}-n es irracional (lo que, sabiendo que n es un número entero, implicaría que \sqrt{m} también es irracional).

Supongamos que a no es irracional. Por su propia definición, se tiene que 0 < a < 1, por lo que, si no es irracional, será de la forma

a=\cfrac{p}{q}

siendo 0 < p < q. Podemos asumir sin ningún problema que q es lo más pequeño posible. Si tomamos la fracción inversa y operamos un poco obtenemos lo siguiente:

\cfrac{q}{p}=\cfrac{1}{a}=\cfrac{1}{\sqrt{m}-n}=

Multiplicamos ahora numerador y denominador por el conjugado del denominador actual, \sqrt{m}+n, y seguimos operando:

=\cfrac{\sqrt{m}+n}{\sqrt{m}+n} \cdot \cfrac{1}{\sqrt{m}-n}=\cfrac{\sqrt{m}+n}{m-n^2}=\cfrac{a+2n}{m-n^2}

Hemos llegado a la siguiente igualdad:

\cfrac{q}{p}=\cfrac{a+2n}{m-n^2}

Ahora despejamos a:

a=\cfrac{q \cdot (m-n^2)}{p}-2n=\cfrac{q \cdot (m-n^2)-2np}{p}=\cfrac{k}{p}

Acabamos de obtener que a se puede expresar mediante una fracción cuyo denominador, p, es más pequeño que el denominador anterior, q (por definición, p era menor que q). Pero eso es imposible, ya que habíamos supuesto que q era el menor denominador posible.

Esta contradicción proviene del hecho de suponer que a=\sqrt{m}-n es un número racional. En consecuencia, a es irracional, lo que implica que \sqrt{m} también es un número irracional.


Creo que es la primera demostración de este hecho que publico en Gaussianos, salvo las cuestiones sobre ello que se hayan tratado en los comentarios de alguna entrada. Si encontráis algo sobre ello en alguna entrada o comentario de este blog os agradecería que nos lo comunicarais en los comentarios.


Demostración de Harley Flanders a partir de una demostración de Theodor Estermann. Vía Fermat’s Library.

imagen tomada de aquí.

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