Los centros del triángulo: el centro de la circunferencia de los nueve puntos

Continuamos con la serie de artículos sobre los centros del triángulo. En esta ocasión os voy a hablar del punto que en la ETC es X(5), punto conocido como el centro de la circunferencia de los nueve puntos.

Para comenzar, quiero recordar que tres puntos en un plano que no estén alineados determinan una circunferencia, es decir, si tenemos tres puntos en el plano que no estén en la misma línea sólo hay una circunferencia que pase por los tres. Por tanto, si tenemos tres puntos con esa propiedad no tiene nada de particular que una circunferencia pase por ellos.

Si en vez de tres puntos tenemos seis, ya comienza a ser cuanto menos curioso que una cierta circunferencia pase por ellos. Y no os digo nada si son nueve los puntos que tenemos…El hecho de que dados nueve puntos calculados de formas distintas haya una circunferencia que pase por todo ellos tiene tintes ciertamente sorprendentes.

Esta circunferencia de los nueve puntos se denomina circunferencia de Feuerbach. Aunque ya habíamos hablado de ella, en este artículo os voy a mostrar un applet de GeoGebra como apoyo a explicación de la construcción.

Construcción de la circunferencia de los nueve puntos

Vamos a volver a ver cómo se construye esta circunferencia de los nueve puntos. Comenzamos dibujando un triángulo cualquiera y después los puntos medios de cada uno de sus lados (D, E,F, en amarillo). Después dibujamos las tres alturas del triángulo (en el dibujo en línea discontinua) y marcamos el ortocentro, es decir, el punto de intersección de las tres ( en el dibujo en violeta). Ahora marcamos los puntos medios de los segmento que unen este ortocentro con los vértices del triángulo (H,I,J, en verde).

El siguiente paso consiste en dibujar las rectas que contienen a cada uno de los lados del triángulo (en el dibujo son las líneas de puntos) y después los puntos de intersección de las alturas con cada una de esas rectas (K,L,M, en gris).

Tenemos por tanto nueve puntos relacionados con ciertas construcciones de este triángulo:

  • Los puntos medios de los lados: D,E,F
  • Los puntos medios de los segmentos que unen el ortocentro del triángulo con los tres vértices: H,I,J
  • Los puntos de intersección de las rectas que contienen a los lados del triángulo con las alturas: K,L,M

Dibujamos ahora la circunferencia que contiene a tres cualesquiera de ellos (recordemos que es única)…y vemos que también pasa por los otros seis. El centro de dicha circunferencia, la circunferencia de Feuerbach, es X(5) (en rojo en el dibujo), el Centro de la Circunferencia de los Nueve Puntos (CCNP).

Pero aún hay más. Ya vimos en el post anterior de esta serie que las mediatrices de cada uno de los lados se cortan en un punto, llamado circuncentro. Bien, si representamos estas mediatrices (en el dibujo en línea continua) y el circuncentro, puede comprobarse que X(5) es el punto medio del segmento que une al ortocentro con el circuncentro (en el dibujo en negro).

Podéis seguir esta construcción paso a paso en el siguiente applet de GeoGebra:

El applet GeoGebra-Java no ha podido ejecutarse.


¿A que es maravilloso?

Author: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

14 Comments

  1. También son muy curiosas las circunferencias que son tangentes a la de Feuerbach (Teorema de Feuerbach).

    Un saludo!

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  2. lástima que las letras amarillas y grises apenas puedan distinguirse del fondo blanco

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  3. Jones, Francisco, ¿para qué quieres exactamente que se vean mejor los nombres de los puntos? Puedo aclarar un poco más los detalles de la construcción si es conveniente.

    Por cierto, te borro el comentario que has dejado con un punto :).

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  4. Vemos que el centro X(5) puede estar adentro o afuera del triángulo. Por lo tanto a veces podemos encontrarlo sobre uno de los catetos. Además hay un caso en donde coincide con uno de los vértices: Se trata del triángulo obtusángulo isósceles con ángulo de 120 grados.

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  5. En cuanto a los nueve puntos de la circunferencia de Feuerbach, es un error pensar que los encontraremos separados entre sí “en cualquier triángulo”. Solo aparecen separados los nueve puntos en el triángulo escaleno no rectángulo. En los demás tipos de triángulos resulta que alguno de los puntos coinciden y por lo tanto la cantidad de puntos distinguibles es menor a nueve.

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  6. ¡Qué bueno! Además con la aplicación se visualiza y es más asombroso si cabe.

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  7. Por ejemplo, tanto en el triángulo acutángulo escaleno como en el triángulo obtusángulo escaleno encontramos los 9 puntos separados. En cambio, en el triángulo rectángulo escaleno solo observamos 5 puntos separados.
    Por otro lado, en los triángulos “simétricos” encontramos una sucesión reversible de puntos separados: 8, 6, 8, 4, 8, 6, 8. Esto se visualiza si seguimos un recorrido geométrico dinámico, comenzando con un triángulo acutángulo isósceles “alargado” con alfa < 60 grados.

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  8. Observamos que hay:
    8 puntos separados en el triángulo acutángulo isósceles, con alfa < 60.
    6 puntos separados y equidistantes en el triángulo equilátero.
    8 puntos separados en el triángulo acutángulo isósceles, con 60 < alfa < 90.

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  9. Luego observamos que 4 puntos separados en el triángulo rectángulo isósceles.

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  10. Finalmente observamos que hay:
    8 puntos separados en el triángulo obtusángulo isósceles, con alfa mayor que 90 y menor que 120.
    6 puntos separados en el triángulo obtusángulo isósceles, con alfa = 120.
    8 puntos separados en el triángulo obtusángulo isósceles, con alfa > 120

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  11. Con referencia a esta visualización, hemos clasificado a los triángulos en 10 tipos. También podría hacerse una clasificación de sólo 9 tipos si en lugar de contar los 2 tipos de escalenos (Acutángulo y obtusángulo) decimos, como al principio, que los nueve puntos separados sólo aparecen en el triángulo escaleno no rectángulo.

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  12. Las rectas que cruzan por los puntos K-I y F-cincuncentro. Son paralelas…

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  13. Además el Centro de la Circunferencia de Feuerbach, tiene las siguientes propiedades:

    – El centro de la Circunferencia de Nueve Puntos está sobre la recta de Euler y es el punto medio del segmento que une el Ortocentro y el Circuncentro del triángulo (ya mencionada).

    – La circunferencia de Nueve puntos es tangente a la circunferencia inscrita en el triángulo y a las tres circunferencia exinscritas del triángulo.

    – La circunferencia de Nueve Puntos es homotética a la circunferencia circunscrita del triángulo con centro de homotecia el ortocentro y razón de homotecia igual a 2 (se comprueba por mera observación del dibujo).

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