Continuamos con la serie de artículos sobre los centros del triángulo. En esta ocasión os voy a hablar del punto que en la ETC es X(5), punto conocido como el centro de la circunferencia de los nueve puntos.

Para comenzar, quiero recordar que tres puntos en un plano que no estén alineados determinan una circunferencia, es decir, si tenemos tres puntos en el plano que no estén en la misma línea sólo hay una circunferencia que pase por los tres. Por tanto, si tenemos tres puntos con esa propiedad no tiene nada de particular que una circunferencia pase por ellos.

Si en vez de tres puntos tenemos seis, ya comienza a ser cuanto menos curioso que una cierta circunferencia pase por ellos. Y no os digo nada si son nueve los puntos que tenemos…El hecho de que dados nueve puntos calculados de formas distintas haya una circunferencia que pase por todo ellos tiene tintes ciertamente sorprendentes.

Esta circunferencia de los nueve puntos se denomina circunferencia de Feuerbach. Aunque ya habíamos hablado de ella, en este artículo os voy a mostrar un applet de GeoGebra como apoyo a explicación de la construcción.

Construcción de la circunferencia de los nueve puntos

Vamos a volver a ver cómo se construye esta circunferencia de los nueve puntos. Comenzamos dibujando un triángulo cualquiera y después los puntos medios de cada uno de sus lados (D, E,F, en amarillo). Después dibujamos las tres alturas del triángulo (en el dibujo en línea discontinua) y marcamos el ortocentro, es decir, el punto de intersección de las tres ( en el dibujo en violeta). Ahora marcamos los puntos medios de los segmento que unen este ortocentro con los vértices del triángulo (H,I,J, en verde).

El siguiente paso consiste en dibujar las rectas que contienen a cada uno de los lados del triángulo (en el dibujo son las líneas de puntos) y después los puntos de intersección de las alturas con cada una de esas rectas (K,L,M, en gris).

Tenemos por tanto nueve puntos relacionados con ciertas construcciones de este triángulo:

  • Los puntos medios de los lados: D,E,F
  • Los puntos medios de los segmentos que unen el ortocentro del triángulo con los tres vértices: H,I,J
  • Los puntos de intersección de las rectas que contienen a los lados del triángulo con las alturas: K,L,M

Dibujamos ahora la circunferencia que contiene a tres cualesquiera de ellos (recordemos que es única)…y vemos que también pasa por los otros seis. El centro de dicha circunferencia, la circunferencia de Feuerbach, es X(5) (en rojo en el dibujo), el Centro de la Circunferencia de los Nueve Puntos (CCNP).

Pero aún hay más. Ya vimos en el post anterior de esta serie que las mediatrices de cada uno de los lados se cortan en un punto, llamado circuncentro. Bien, si representamos estas mediatrices (en el dibujo en línea continua) y el circuncentro, puede comprobarse que X(5) es el punto medio del segmento que une al ortocentro con el circuncentro (en el dibujo en negro).

Podéis seguir esta construcción paso a paso en el siguiente applet de GeoGebra:

El applet GeoGebra-Java no ha podido ejecutarse.


¿A que es maravilloso?

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