En este blog ya hemos hablado alguna vez sobre Pierre de Fermat: jurista de profesión y enamorado de las Matemáticas, fue un genio de esta ciencia en su época. Gracias a él se avanzó en multitud de campos (desde teoría de probabilidades hasta cálculo diferencial) pero, como ya sabréis, su mayor afición fue la teoría de números. Dejó sin demostrar la que ha resultado ser una de las conjeturas que más tiempo se ha tardado en comprobar (el último teorema de Fermat) y nos sorprendió con excelentes resultados sobre números enteros. Pero como casi todos los genios también falló en alguna ocasión, aunque no lo supo en vida. Y ese es el objetivo de este post: los números de Fermat.

Los números de Fermat son números de la forma Fn = 22^n + 1, desde n = 0 en adelante. Los primeros son:

F0 = 22^0 + 1 = 3
F1 = 22^1 + 1 = 5
F2 = 22^2 + 1 = 17
F3 = 22^3 + 1 = 257
F4 = 22^4 + 1 = 65537

Es sencillo comprobar que todos estos números son primos.

INCISO:

Un método muy sencillo para comprobar si un número es primo es el siguiente: realizamos la raíz cuadrada de ese número y después comprobamos si nuestro número es divisible por algún número primo menor que su raíz cuadrada. Si lo es entonces el número en cuestión es compuesto; si no lo es entonces nuestro número es primo.

El método es interesante para números pequeños, pero es extremadamente duro para números grandes. Por eso en la actualidad se utilizan otro tipo de algoritmos de primalidad

Fermat, supongo que basándose en estos datos, conjeturó que todos los números Fn eran primos, pero, como era costumbre en él, no dejó ninguna demostración del hecho. Años después de su muerte, exactamente en 1732, el batacazo de Fermat se confirmaba: Leonhard Euler demostraba que F5 era compuesto:

Pero este hecho no hace que los números de Fermat pierdan toda su importancia, ni mucho menos. Siguen cumpliendo propiedades muy interesantes. Algunas de ellas son:

1.- F0 · F1 · … · Fn-1 = Fn – 2
2.- Ningún número de Fermat puede ser suma de dos números primos
3.- Dos números de Fermat son siempre primos entre sí
4.- Un polígono regular de n lados puede construirse con regla y compás si n es igual a una potencia de 2 o al producto de una potencia de 2 por números de Fermat distintos entre sí (resultado debido a nuestro amigo Gauss)

Y además nos quedan un par de preguntas acerca del tema: ¿hay infinitos números de Fermat que sean primos? Y más aún: ¿hay alguno más con n > 5?. Por ahora esas preguntas no están respondidas.

(Número de Fermat en la Wikipedia)

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