Hoy martes os traigo el problema de esta semana. Ahí va el enunciado:
Sea
el conjunto de puntos de
que cumplen que todas sus coordenadas son números racionales. La cuestión es que queremos movernos entre esos puntos, pero vamos a poner una restricción a este movimiento: sólo podemos movernos de un punto a otro si están a distancia 1. Es decir:
Dados , podemos movernos desde
hasta
siempre que el segmento
tenga longitud 1.
En estas condiciones, demostrar que desde un punto cualquiera de
, se puede llegar a cualquier otro punto de
, en un número finito de movimientos si y sólo si
, es decir, si estamos trabajando en
o superior.
En particular, este resultado nos dice que ni en el plano ni en el espacio tridimensional (ni siquiera en cuatro dimensiones) podemos viajar de esta forma de todo punto racional a cualquier otro.
A por él.
¿Te ha gustado la entrada? Puedes invitarme a un café, Gauss te lo agradecerá 😉
Dios! que interesante cuestión, no la conocía!
Si es cierta es interesante… a ver como se demuestra, bueno en
es fácil ver que no se cumple xD
Muchas gracias por darla a conocer.
Tengo una duda. Cuando el enunciado refiere a moverse de M a N en un número finito de movimientos, ¿se refiere a que entre M y N hay movimientos de distancia uno, pero no sólo uno posible? ¿O se refiere a que se puede construir un ‘camino’ de M a N pasando por puntos intermedios con movimientos de distancia uno entre éstos? Gracias.
*(lo estoy intentando mediante espacios afines y variedades lineales)
Sebastián, significa que se puede construir un camino de M a N pasando por puntos intermedios donde todos los movimientos se han entre puntos a distancia 1 (no podemos ir directamente de un punto a otro si no están a distancia 1).
¿Alguna duda más? 🙂
(4) Este problema se ve muy interesante! Ademas creo que se adaptaria muy bien a intentar una «solucion colaborativa» al estilo que propusieron Tim Gowers y Terry Tao con los problemas «polymath». Os parece interesante la idea? De momento, voy a hacer mi colaboracion parcial de esa manera (numero mi comentario como 4 por si alguien lo cita despues). Primera observacion obvia, es que basta con probar (sin perdida de generalidad) que se puede alcanzar cualquier punto comenzando desde el origen de coordenadas. Como dice jbgg en (1) es obvio que para comenzando desde el origen solo se pueden alcanzar… Lee más »
@gaussianos: perfectamente explicado. Gracias 😉
De nada 🙂
Al leer a (4) he tenido una idea, que solo hace falta demostrarlo para puntos contenidos en la hiperesfera de radio 1 y centro en el origen de coordenadas.
Respecto a (7) Felix, muy cierto! Partiendo de tu simplificacion podemos hacer otra similar: quedarnos con el hiper-cubo de arista con longitud 1 y vertices opuestos en
y 
, que hablando en plata significa que podemos ignorar la parte entera de las coordenadas y quedarnos solo con la parte decimal (vista como un numero positivo).
(9) Otra idea que he tenido, que no tiene en cuenta la simplificacion anterior: si podemos llegar desde el origen hasta y podemos llegar desde el origen hasta , entonces tambien podemos llegar desde el origen hasta el punto . Ademas es evidente que si podemos ir a , haciendo los mismos saltos con signo opuesto podemos llegar a , por lo que el conjunto de puntos alcanzables desde 0 es un subgrupo aditivo de . Como todos los «vectores basicos» son alcanzables en un unico paso, esto nos da una condicion suficiente para resolver el problema: Basta demostrar que… Lee más »
(10) Juntando (9) con (7), para resolver el problema basta con demostrar que desde el punto
podemos llegar al punto 
donde 
es un racional menor que 1.
(11): Respecto a (10) , si (a,c,b) forman una terna pitagórica, entonces se puede llegar con un solo paso dese el origen hasta (a/b,0,0,0,0) porque pasa por (a/2b,a/2b,a/2b,a/2b,c/b).Sobre las dimensiones, por inducción, solo hace falta probar que la propiedad buscada se cumple para n=5 y no para n=4.
(12) Una simplificacion mas: supongamos que
donde 
y 
son primos entre si, entonces por la identidad de Bezout existen 
tales que 
, por lo que 
y podemos escribir 
, como consecuencia, basta demostrar el resultado para puntos de la forma 
donde 
es una potencia de un primo.
(12)
Sobre lo que se ha dicho en (10), basta ver que desde el origen (0,0,…,0) podemos llegar al punto (1/n, 0, …, 0) para todo n natural, y así, por simetrías y repeticiones siempre podremos alcanzar cualquier punto racional.
(14)
El anterior mio, que pone (12), es el (13). Que rapidos soys!
(15) Partiendo de (13), creo que la clave (y de aqui debe venir la necesidad de tener dimension mayor o igual a 5) debe estar en el teorema de los cuatro cuadrados: todo natural
puede escribirse como suma de 4 cuadrados 
(16) Creo que tengo el paso final para dimension 5 o superior. Usando (13) y anteriores, basta obtener el punto
(si la dimension es superior a 5 ponemos mas ceros al final en todos los pasos). Aplicando el teorema de los cuatro cuadrados al numero 
obtenemos 
, que re-escrito queda 
, por lo que la transformacion 
es valida. Desde este punto aplicamos la misma transformacion cambiando los signos en todas las coordenadas menos en la primera, y tenemos 
, como queriamos demostrar.
Ahora solo falta ver que para dimension 2, 3 y 4 existen puntos que no se pueden alcanzar.
(17) Y si lo ponemo todo en una sola demostracion?
Es un poco dificil seguir la pista.
(18)
(16), creo que tienes toda la razón. Con esto sólo falta demostrar que existe algún punto racional de
que no se puede alcanzar mediante sucesivas iteraciones… quizás con clases de equivalencia?
(17), cuando esté completa, lo resumimos. De momento está demostrado el caso n=5, 6, …, básicamente tienes que mirar (16), que es donde está la «chicha».
(19) La misma demostración de (16) es valida en dimensión 4 (resp 3, 2) para obtener el punto con primera cordenada siempre que se pueda escribir como suma de 3 (resp 2, resp 1) cuadrados, por lo que un primer acercamiento para buscar un punto no alcanzable en dimensión 4 (que ya valdría como contraejemplo para dimensiones 3 y 2) es buscar un tal que no se pueda escribir como suma de 3 cuadrados. Tenemos suerte y el valor más pequeño ya nos vale porque 15 no puede escribirse como suma de 3 cuadrados, así que me atrevería a conjeturar… Lee más »
Bonito problema. Desafiando la intuición.
Precioso problema, y muy divertida la forma en la que la habéis resuelto vengoroso, Pirer y Félix. 😀
josejuan, todavía queda hallar un contraejemplo para n=4 o probar su existencia,
y yo, creo que no sabría como hacerlo.
Para el caso n=2, la teoria de las ternas pitagóricas dice que los puntos racionales a distancia 1 de (0,0) son, en fracciones irreducibles, de la forma
o 
con a y b primos entre sí y de distinta paridad.
Por tanto los denominadores de las coordenadas de los puntos racionales alcanzables desde (0,0) son siempre impares.
La solución completa al problema del post se puede ver en los apartados 2.1 y 2.2 de este artículo:
http://www.math.uwaterloo.ca/co/graduate-students/files/mmath/Lino-D.pdf
Gracias fede, parece entonces que el trozo que faltaba era tambien bastante elemental, debe ser que andamos un poco flojos con los calores veraniegos 🙂
Curioso que la demostracion del articulo para la conectividad con
es virtualmente identica a la que hemos encontrado aqui…
Precioso problema. Me encantan estos resultados que dependen de la dimensión!
Acabo de ver el enpace por twitter, y me ha parecido muy interesante, aqui en casa he llegado a una solución y me gustaría saber si es correcta Empiezo por la simplificacion de que vale con demostrar que se puede llegar desde el origen a cualquier punto P Aplico un cambio de coordenadas, con el que me queda que solo tengo que demostrar que puedo llegar a los vectores de tipo (v^2,0,0,…,0) pues así mantengo el módulo pero le cambio las coordenadas por simplificar. Dado que v^2 es racional se puede poner como a/b y dado que podemos simplificar a… Lee más »
Vale con el cambio de coordenadas me he equivocado porque el modulo no tiene por que ser racional, sin embargo me parece que se puede llegar descomponiendo el vector en vectores con una unica componente no nula de valor el de su homologa en el vector de destino y ahora si apricar el metodo que sigo para la primera componente del vector nombrado en el comentario anterior
Tu cambio de coordenadas debería mantener las distancias. Sin embargo, éstas pueden ser irracionales, con lo que te quedaría una única coordenada irracional.
Por ejemplo, si debes ir de (0, 0) a (1, 1), después del cambio de coordenadas deberías moverte de (0, 0) a (sqrt(2), 0).
Saludos,
Pedro.