Hoy martes os traigo el problema de esta semana. Ahí va el enunciado:

Sea P el conjunto de puntos de \mathbb{R}^n que cumplen que todas sus coordenadas son números racionales. La cuestión es que queremos movernos entre esos puntos, pero vamos a poner una restricción a este movimiento: sólo podemos movernos de un punto a otro si están a distancia 1. Es decir:

Dados A,B \in P, podemos movernos desde A hasta B siempre que el segmento AB tenga longitud 1.

En estas condiciones, demostrar que desde un punto cualquiera de P, digamos M, se puede llegar a cualquier otro punto de P, digamos N, en un número finito de movimientos si y sólo si n \ge 5, es decir, si estamos trabajando en \mathbb{R}^5 o superior.

En particular, este resultado nos dice que ni en el plano ni en el espacio tridimensional (ni siquiera en cuatro dimensiones) podemos viajar de esta forma de todo punto racional a cualquier otro.

A por él.

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