El símbolo del infinito, ese concepto tan extraño, tan poco intuitivo y que esconde tantos misterios, es uno de esos símbolos matemáticos que todos hemos visto alguna vez. Ahora, ¿cuál es la figura que describe a este ocho tumbado? Pues posiblemente mucha gente no sepa que la figura que se ha acabado adoptando para representar al símbolo del infinito se denomina lemniscata y que fue descrita por primera vez hace más de 300 años por Jakob Bernoulli.

(Imagen tomada de aquí.)

Concretamente parece ser que fue en el año 1694 cuando Jakob Bernoulli describió dicha curva. La definición de la misma se asemeja en cierto sentido a la de la elipse:

  • Elipse: conjunto de puntos que cumplen que la suma de las distancias a dos puntos dados, denominados focos, es constante.
  • Lemniscata: conjuntos de puntos que cumplen que el producto de las distancias a dos puntos dados, denominados focos, es constante.

Como veis, cambiando suma por producto pasamos de una elipse a una lemniscata.

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La ecuación implícita de la lemniscata es:

(x^2+y^2)^2=2 a^2 (x^2-y^2)

El parámetro a es el que determina qué lemniscata tenemos, ya que los focos están a distancia 2a y ese producto de distancias constante es exactamente a^2.

A la derecha podéis ver un applet de Geogebra en el que un punto recorre una lemniscata con a=3. Sus focos están en (-3,0) y (3,0) y, como se puede observar, el producto de las distancias desde cualquier punto de la lemniscata a los dos focos es siempre 3^2=9.

Podemos definir también la lemniscata en paramétricas de esta forma:

\begin{matrix} x(t)=\cfrac{a \sqrt{2} \cos{(t)}}{\sin ^2 {(t})+1} \\ \\ y(t)=\cfrac{a \sqrt{2} \cos{(t)} \sin{(t)}}{\sin ^2 {(t})+1} \end{matrix}

Y jugando con los valores de t y los valores del parámetro a podemos conseguir representaciones muy chulas, como este bonito pececito:

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Y, de forma aproximada, también está presente en la naturaleza. El analema, que es la curva descrita por la posición del Sol observada todos los días del año a la misma hora y desde la misma posición, se asemeja a una lemniscata:

Para terminar, comentar que la lemniscata es un caso particular de las curvas denominadas óvalos de Cassini, de los cuales nuestro gran colaborador Fede nos habló en su artículo Las espíricas de Perseo.

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