Un número entero se denomina número de Friedman si puede escribirse de forma no trivial combinando sus dígitos y las operaciones aritméticas básicas (+,-,*,/), los paréntesis, la concatenación y las potencias
Estos números pueden encontrarse en cualquier base de numeración, pero nosotros sólo vamos a hablar de números de Friedman en base 10.
Los primeros números de Friedman son:
25, 121, 125, 126 , 127, 128, 153, 216, 289, 343, 347, 625, 688, 736, 1022, 1024, 1206, 1255, 1260, 1285, 1296, 1395, 1435, 1503, 1530, 1792, 1827, 2048, 2187, 2349, 2500, 2501, 2502, 2503, 2504, 2505, 2506, 2507, 2508, 2509, 2592, 2737, 2916, 3125, 3159
¿Cómo obtenerlos? Veamos algunos:
25=52
121=112
126=21*6
127=27-1
Cuando decimos de forma no trivial nos referimos principalmente a que no podemos utilizar los paréntises de esta forma:
21=(21)
y a que no podemos utilizar ceros a la izquierda. Es decir:
001729=1700+29
no es válido.
Hay muchas curiosidades sobre este tipo de números. Aquí tenéis algunas de ellas:
- Parece ser que el número 9999999 es el más pequeño número de Friedman que tiene todos sus dígitos iguales. La forma de conseguirlo es:
99999999=(9+9/9)9-9/9-9/9
- Todo número con 24 o más cifras que las tenga todas iguales es un número de Friedman.
- Los números de Friedman simpáticos son los que pueden obtenerse con las operaciones comentadas anteriormente con la condición de que los dígitos aparezcan en el mismo orden que en el propio número. El más pequeño número de Friedman simpático es el 127=-1+27.
- Al parecer gran parte de los números de Friedman son compuestos. El primer número de Friedman primo es, precisamente, el 127. De todas formas está comprobado que hay infinitos números de Friedman primos.
- Los números 123456789 y 987654321 son números de Friedman. La forma de conseguirlos es la siguiente:
123456789=((86+2*7)5-91)/34
987654321=(8*(97+6/2)5+1)/34
En la web de Erich Friedman (enlace más abajo) teneís mucha más información sobre estos números.
Fuentes:
Otros artículos sobre números en Gaussianos:
- Números primos gemelos y demás familia
- Número de Dudeney
- Tipos de números
- Número primo probable
- Número primo ilegal
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¿Y para que valen los números de Friedman?
Es muy interesante y curioso, pero ¿se usan para algo?
(lo siento si a veces soy demasiado práctica 😉
Perdón por la ignorancia, pero ¿a qué se llama Concatenación?
Irene valer, lo que se dice valer…pues no creo que valgan para mucho. Es más a modo de curiosidad.
Andrés por ejemplo: el 11 se obtiene concatenando un 1 con otro 1. En otras palabras, juntar un número con otro.
Muy entretenido constatar que el 2187=27×81, y que si hacemos 21×87=1827 otro número de Friedman, pero que si escribimos, por ejemplo: 2^(1×8)x7=1729, ¡Ramanujan!
Supongo que los matemáticos deben extraer conclusiones, aunque sea indirectas, de algunas propiedades de estos números. En todo caso están llenos de «porqués». ¿Por qué sólo hay un número de Fiedman de 4 dígitos que empieza por 7 y, en cambio, hay tres que empiezan por 9? ¿La «densidad» de número de Friedman aumenta a medida que los números se hacen más grandes? ¿Puede llegar un punto a partir del cual todo los números que no tienen 0 son de Friedman? ¿Si permitimos operaciones con reales, aumenta mucho el número de números de Friedman?
Por cierto… si dejáramos poner el símbolo factorial (!), el 36 sería en número de Friedman: 3!*6 y además sería simpático.
Curioso descubrimiento Isma 🙂
Trabajando un poco sobre esto me he dado cuenta que muchos cubos perfectos son tambien numeros de Friedman ( algunos figuran en la lista de arriba); como por ejemplo
216 = 6^(2+1)
125 = 5^ (2+1)
o tambien 729 = 9^( sqrt(7+2))
La razon a mi parecer es que en el cubo es facil, con las cifras que tiene, encontrar un tres y la base de la potencia, para asi haces base^3 y encontrar el numero
Algunos de los ejemplos que he encontrado son bastante grandes como
15625 = 25^(sqrt(15-6))
y tambien los hay simpáticos
343= (3+4)^3 🙂
Muy entretenido 😉
[…] Tenéis más información sobre estos números en Gaussianos. […]