Hace ya más de un año os comentaba en esta entrada (la tercera de Gaussianos) cuál era la probabilidad de que al escoger al azar dos números naturales (mayores que 1) éstos fueran coprimos (primos relativos). Esta probabilidad es , pero no daba la demostración de este hecho. Este post va a servir para ello.
Teorema: La probabilidad de que al escoger al azar dos números naturales sean coprimos (primos relativos) es
Demostración
Supongamos que escogemos al azar dos números naturales y menores que una cierta cota. Para que sean coprimos no deben tener ningún factor primo común.
Al escoger un número mayor o igual que 2, la probabilidad de que contenga al 2 como factor es . Al escoger dos números, la probabilidad de que los dos contengan al 2 como factor es
. Por tanto, la probabilidad de que no lo contengan a la vez los dos números es:
Para el 3, la probabilidad de que un número lo contenga como factor es . Por analogía, la probabilidad de que no lo contengan los dos números a la vez será:
Al ser estos hechos sucesos independientes la probabilidad de la intersección es el producto de las probabilidades. Aplicando este hecho obtenemos que la probabilidad de que dos números escogidos al azar sean coprimos es el producto de estos . Esto es:
Tomamos hasta la raíz cuadrada de la cota superior.
Haciendo obtenemos la probabilidad buscada.
Para calcularla utilizaremos la fórmula de la suma de una progresión geométrica. Esta fórmula es:
Por ejemplo, para el primer término tomamos y damos la vuelta a la fórmula anterior:
Haciendo lo mismo con todos los números primos nos queda lo siguiente:
Ya estamos cerca.
Miremos ahora qué pasaría si multiplicáramos todas las fracciones y desarrolláramos todos los productos. El resultado sería una fracción cuyo numerador es y cuyo denominador es una suma de fracciones. ¿Qué tienen de particular esas fracciones? Pues muy sencillo: todas ellas tienen numerador
y denominador un cuadrado perfecto. De hecho hay más: haciendo
tenemos que en el denominador aparece la suma de los inversos de los cuadrados perfectos de todos los números naturales. Es decir, que esa probabilidad tiende a una fracción cuyo numerador es
y cuyo denominador es la suma de los inversos de los cuadrados perfectos de todos los números naturales. ¿Os suena esa suma? ¡Exacto!: El problema de Basilea. El valor de esta suma es bien conocido:
Por tanto tenemos:
Esto es:
La probabilidad de que al elegir dos números naturales mayores o iguales que 2 sean primos relativos es
Fuente: MENSA
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Hola, muy interesante problema el que planteas. Conocía otra demostración similar pero esta es más fácil de entender! Sólo dos comentarios: 1) La expresión de P como producto contiene una pequeña errata (se ha colado el 1/n dos veces: uno de ellos debe ser 1/3). 2) Realmente no hay porqué tomar , puesto que con también se verifica tu desarrollo. Publicaremos una demostración ligeramente diferente a finales de agosto o principios de septiembre en nuestra web. Esta prueba que propones está basada en la independencia de sucesos. La que propondremos se basa en la regla clásica de Laplace contando casos… Lee más »
Cierto Domingo, ahora mismo cambio esa n por el 3.
Avísame por mail o con un comentario en este post cuando publiques esa demostración. Gracias 🙂
Un detallito.
En el segundo párrafo de la demostración dices:
«Por tanto, la probabilidad de que no lo contengan ninguno de los dos es:»
y no me parece correcto pues p2 es la probabilidad de que no lo tengan los 2 a la vez pero eso incluye que no lo tengan ninguno de los 2 (como dices en el párrafo) o q sólo lo tenga x o que sólo lo tenga y, que es lo que no se contempla en la frase.
Cierto Hilbert. Quería decir eso pero me expresé mal. De hecho en el siguiente caso (factor 3) está bien explicado.
Lo cambio ahora mismo. Gracias 🙂
Hola que tal.. pasaba por aqui tal vez se molesten pero no entendi nada…
Me podrian ayudar es que soy malisimo en las matematicas, estudio ing. en sistemas computacionales, como saben ustedes saben los ciclos en los lenguajes de programacion etc. son sumas, y alguna que otra demostracion puff. pero nunca le he entendio, se que ustedes son los mejores y me podrian ayudar
Sorprendente aplicación del problema de Basilea. Me ha encantado.
De hecho me ha recordado a la función zeta de Riemann y esa gran igualdad descubierta por Euler:
Vamos, que la demostración hace uso de ella para s=2.
¿Alguién sabe la probabilidad de escoger un número primo?
Dado un número entero n, la probabilidad de que sea primo es aproximadamente 1/log(n). Esto se deduce del terorema de números primos.
Ahora bien, tomando toda la recta de enteros, la probabilidad de que al escoger uno cualquiera sea primo diría que es CERO, por raro que parezca. Bueno, no tan raro, basta con hacer que n tienda a infinito para ver que 1/log(n) tiende a cero.
Efectivamente, la probabilidad de que un número natural escogido «al azar» sea primo es cero en virtud del Teorema del Número Primo (PNT):
, siendo
el número de primos menores o iguales que
.
Por tanto la probabilidad pedida se obtiene tomando límite en la regla de Laplace, del modo siguiente:
Interesantísimo. Me encanta que con tampoco demasiada artillería pesada (eso sí mucho ingenio e imaginación) se consigan resultados tan sorprendentes.
Si la probabilidad de elegir al azar un número primo es cero entonces los números primos no existen.
Eso no es así, Omar. Escogiendo un número al azar entre 0 y 1, la probabilidad de que sea uno concreto (el 0,5 por ejemplo) también es cero pero eso no significa que no exista, significa que es una parte infinitamente pequeña.
Lo mismo pasa con los primos en relación a los números naturales, no son una fracción de los mismos, sino una parte infinitamente pequeña.
¿Un número infinitamente pequeño es igual a cero?
A propósito del problema propuesto inicialmente, existe otro muy relacionado que consiste en Se conoce que dicha probabilidad es también igual a . A ver si alguien da una demostración elegante alternativa a la que yo conozco. Nota1: Un número natural es libre de cuadrados si no existe ningún número primo tal que divida a . Por ejemplo: 10, 15, 70, 154 son libres de cuadrados, pero 8, 9, 20, 363 no son libres de cuadrados. Nota2: Omar, que un suceso tenga probabilidad nula no quiere decir que sea un suceso imposible (vacío). ¿Acaso no existen conjuntos de medida nula?… Lee más »
No conocía ese dato, Domingo, aunque lo he pensado y la demostración sería absolutamente análoga a la que se nos presenta en este post. Lo único que cambiaría sería la interpretación de las probabilidades calculadas al principio. Es decir, en esta ocasión se referirían a la probabilidad de que un número no tenga dos veces el mismo factor (los que lo tienen más de dos veces también lo tienen dos veces).
Sí, Asier.
Domingo HA:
Gracias por tu atención.
Haber si entendí: El suceso es posible pero la probabilidad es cero.
Eso es, Omar. Una cosa es que el suceso sea imposible (suceso vacío) y otra bien distinta es que el suceso sea «improbable», es decir, que tiene probabilidad nula. Evidentemente el suceso vacío tiene probabilidad 0, pero el recíproco no es cierto.
Piensa por ejemplo en escoger un número real «al azar». Si se te pregunta por la probabilidad de que sea racional, la respuesta es 0 (pues la medida de Lebesgue de los racionales es nula). Pero, ¿es posible escoger un número racional? ¿es no vacío el conjunto de los racionales? Evidentemente sí.
Un saludo.
Domingo HA y DiAmOnD: Habrán notado también, que existe una relación entre el contenido de este post y el de la caja de Euler, pues la probabilidad de elegir dos números coprimos, así como la probabilidad de elegir dos números libres de cuadrados, es igual al diámetro del círculo cuya circunferencia es igual a la razón de volúmenes entre un ortoedro cualquiera y su elipsoide inscripto.
Mejor dicho: «la probabilidad de que un número elegido al azar sea libre de cuadrados».
Brillante observación Omar!! No conocía ese dato!! Efectivamente los volúmenes están en proporción
y de ahí se obtiene el valor
para el diámetro! Muy bonita propiedad. Si conoces alguna referencia que hable del tema te agradecería, si no es molestia, que la indicaras en este post. Saludos.
Domingo HA: ¡Gracias por el reconocimiento!. ¡Creí que nadie había leído el comentario!. Me resultó ineresante definir dicha probabilidad sin utilizar ningún número. Te cuento un poco sobre mis pensamientos: Podemos decir, en general, que estamos acostumbrados a referirnos a Pi como la relación entre la circunferencia y el diámetro de un círculo. Pero siempre pensé que esa imágen debía generalizarse al máximo posible. Entonces ví que la razón entre los volúmenes de la esfera y del hexaedro, o cubo, están en una proporción igual a pi/6, es decir aproximadamente 0,52359… Si ahora observamos la relación entre el esferoide y… Lee más »
Parece que este post también tiene relación con el de Mnemotecnia y Pi…
Hmm demasiado interesante, hace un tiempo me paseo por la pagina y no me paseo a postear, hay algo que no me convence, ojala me puedan explicar… Al hacer la pitatoria de las probabilidades de que ambos numeros sean divisibles por cierto k , no eso eso mas restrictivo que lo que necesitamos?? Osea me refiero a que por ejemplo: Prob(a,b sean coprimos) en particular incluye que no son divisibles por 2 ni por 3 (tomando numeros suficientemente grandes) y con eso queda descartada la posibilidad que sea divisible por 6, con lo que no se deberia considerar en la… Lee más »
Probabilidad * Pi = Volumen Ortoedro / Volumen elipsoide inscripto = 1 / arco de 30 grados.
Entonces las fórmulas aplicadas en el cálculo de probabilidades se relacionan con el estudio de los cuerpos.
Alvaro, el cálculo está bien hecho.
El término
no se toma porque el producto es solamente para los primos (lo que pasa es que como en la demostración solamente vienen el 2 y el 3 y luego puntos suspensivos, puede llevar a engaño).
No estoy de acuerdo, Omar.
El que
ó
aparezca en ambos sitios no creo que sea motivo suficiente para justificar una relación. Y concretamente en este caso, la probabilidad no creo que tenga nada que ver con el volumen de los cuerpos.
El número e también aparece en infinidad de sitios, pero no podemos coger dos fórmulas cualesquiera y decir que están relacionadas porque tienen e.
Ahora bien , no quiero desanimarte en tu desempeño de encontrar una relación entre areas dispares de las matemáticas porque seguro que existen muchas relaciones aun sin descubrir.
Asier: Gracias por tu opinión calificada, me ayuda mucho. Creo que la gracia de la definición que utilicé en el comentario sobre la equivalencia entre el diámetro y la probabilidad, radica en que se define el valor de las dos probabilidades estudiadas sin mencionar ningún número. Esto es igual a la diferencia que existe entre decir que Pi es igual a 3,14159…. y decir que Pi es la relación entre la circunferencia y el diámetro. Es una abstracción. Y resulta también que la definición utilizada es una propiedad geométrica de estas probabilidades, muy fácil de visualizar, y que quizá para… Lee más »
Ja, toda la razon en la primera linea del enunciado se menciona, por apurado no lei 😀 o si lei omiti para el resto de la demostracion.
Gracias por la respuesta.
Domingo HA y Asier:
Las dos probabilidades estudiadas aquí son iguales a la recíproca del dilogaritmo de 1.
Domingo HA y Asier:
La suma de los inversos de los cuadrados perfectos de todos los números naturales es igual al dilogaritmo de 1.
La serie que define el dilogaritmo tiene muy curiosas propiedades http://mathworld.wolfram.com/Dilogarithm.html
En particular, esta propiedad:
es muy sencilla de demostrar
Muy bonita, Domingo. Su valor absoluto es la sexta parte del volúmen hiperesférico sub 4.
Y (Pi^2)/6 es un tercio del volumen hiperesférico sub 4.
Domingo HA:
También noté que las dos probabilidades estudiadas aquí son iguales al producto del volumen de un cubo y la superficie de una de sus caras, dividido el producto del volumen y de la superficie de la esfera inscripta.
Y entonces tambiém podemos visualizar a Pi como la razón de superficies de la esfera y una de las caras del cubo circunscripto.
Me gustaría retomar este post planteando un problema de primos y probabilidad algo más complicado.
Hemos dicho en comentarios anteriores que escogido un número al azar, la probabilidad de que sea primo es cero.
Ahora pregunto: ¿y la probabilidad de que ese número sea un primo o la potencia de un primo? Es decir, obtener la probabilidad (con demostración) de que un número al azar tenga la forma
. Suerte.
Con respecto a esto último que comenta Asier: 1) informalmente parece que dicha «probabilidad» debe ser cero por lo siguiente: «la suma de las potencias mayores o iguales a dos de los inversos de los primos converge», es decir (esto es fácil de ver sumando la serie geométrica y luego acotando la serie que queda sobre los primos por una telescópica sencilla que suma 1) Esto nos dice que el conjunto es «pequeño» (un subconjunto contable de es un small set cuando la suma de los inversos de sus elementos converge; los primos no forman un small set) frente a… Lee más »
Hola Domingo, veo que mis conocimientos son bastante más limitados que los tuyos, pues no conocía los resultados que has comentado. Partiendo de la ecuación de Hardy la demostración parece clara y correcta. En cuanto a mis reflexiones y cálculos ‘caseros’: – Intuitivamente me parecía bastante claro que la probabilidad tenía que ser cero, puesto que habiendo infinitos números primos y estando los números naturales compuestos por todas las combinaciones de éstos, la probabilidad de que un número natural solamente tuviera un primo parecía claramente cero. – En cuanto al cálculo: construyo una suma que va contanto los primos y… Lee más »
Asier, creo que el que cada término tienda a cero no significa que la suma también. Un contraejemplo sería el comportamiento de la la suma de n términos iguales a 1/n cuando n tiende a infinito.
Por otro lado se puede plantear, en general para cualquier subsecuencia de los naturales, si es cero la probabilidad de obtener una potencia de un numero de una secuencia siempre que sea cero la probabilidad de obtener un numero de la secuencia.
Ahora mismo no me parece inverosímil, pero no sé nada del tema.
Hola. Asier, tu recuento aproximado de las potencias de primos inferiores a un
dado es intuitivo y se parece mucho a la suma de Ramanujan. El desarrollo que haces es interesante porque permite intuir lo que va a ocurrir, pero no se puede aceptar como demostración. A ver si consigo acceder al libro de Hardy (por lo civil o lo criminal, como diría Luis Aragonés) y ver como hace las acotaciones. A las obras completas de Ramanujan sí que puedo acceder, pero imagino que buscar esto entre tanta ecuación debe ser complicado.
Creo que la proposición propuesta por Asier es válida para las potencias de los primos y de cualquier secuencia de probabilidad cero. Porque entonces también es cero la probabilidad de obtener un número que sea una potencia concreta de un número de la secuencia y por tanto también es cero la probabilidad de un número que sea una potencia menor que K de un número de la secuencia, para cada K… ¿Es válido el razonamiento? Relacionado, ¿ cual es la probabilidad de obtener un número que sea potencia (cuadrado, cubo, etc) de un número natural ? Si esta fuese cero,… Lee más »
Además, hay que tener mucho cuidado con estas «demostraciones» informales porque conducen a errores fatales. Por ejemplo, partiendo del teorema del número primo, elijamos un número menor o igual que «al azar». La probabilidad de que sea primo será aproximadamente . Asimismo , la probabilidad de que sea primo también es aproximadamente igual a . Asumiendo que los sucesos « es primo» y « es primo» son asintóticamente independientes llegaríamos a que la probabilidad de que y sean ambos primos es ; y por tanto la densidad de primos gemelos menores o iguales a sería del orden , que tiende… Lee más »
fede, las series de las inversos de las potencias de orden mayor o igual a 2 convergen: $latex \sum_{n\geq 1} n^{-s}
me ha cortado el comentario … fede, las series de las inversos de las potencias de orden mayor o igual a 2 convergen. Esto parece decir que los subconjuntos de formados por los cuadradados, los cubos, … tienen densidad cero. Asimismo, la unión numerable de conjuntos de densidad cero tiene densidad cero. Es decir, el hecho de que estas series de inversos converjan y la serie armónica no lo haga nos dice que los naturales son mucho más numerosos que las potencias. Esto parece indicar que la probabilidad de elegir un número que sea una potencia cualquiera debe ser cero.… Lee más »
Sí…tanto de la densidad cero de los primos como de la divergencia de la serie de los inversos hay demostraciones muy elementales. Si tengo tiempo escribiré algo.
Gracias por vuestros comentarios y aportaciones. Como os comenté mi demostración no es todo lo rigurosa que debiera pero se me ha ocurrido una cosa para completarla, a ver qué os parece. Retomo la ecuación con la que cuento aproximadamente los primos y potencias de primos que hay hasta x: Lo que voy a hacer es acotar la suma entre corchetes, debido a que esta suma no es infinita realmente, es dependiente de x. Me explico: como estamos sumando los primos menores que una cantidad cada, no tiene sentido sumar los primos menores que 2. Así, si x = 16… Lee más »
A mí me parece una demostración válida, teniendo en cuenta que «f(x) = » denota aquí «f(x) es del orden de «.
Esto… corregidme si me equivoco pero pensándolo bien, creo que en el desarrollo anterior sin darme cuenta he llegado al resultado de la ecuación de Hardy!!
Es decir, acotar la suma:
<
, siendo k una cte.