Hace ya más de un año os comentaba en esta entrada (la tercera de Gaussianos) cuál era la probabilidad de que al escoger al azar dos números naturales (mayores que 1) éstos fueran coprimos (primos relativos). Esta probabilidad es \cfrac{6}{\pi^2}, pero no daba la demostración de este hecho. Este post va a servir para ello.

Teorema: La probabilidad de que al escoger al azar dos números naturales x,y \ge 2 sean coprimos (primos relativos) es \cfrac{6}{\pi^2}

Demostración

Supongamos que escogemos al azar dos números naturales x,y \ge 2 y menores que una cierta cota. Para que sean coprimos no deben tener ningún factor primo común.

Al escoger un número mayor o igual que 2, la probabilidad de que contenga al 2 como factor es \frac{1}{2}. Al escoger dos números, la probabilidad de que los dos contengan al 2 como factor es (\frac{1}{2})^2. Por tanto, la probabilidad de que no lo contengan a la vez los dos números es:

p_2=1- (\frac{1}{2})^2

Para el 3, la probabilidad de que un número lo contenga como factor es \frac{1}{3}. Por analogía, la probabilidad de que no lo contengan los dos números a la vez será:

p_3=1- (\frac{1}{3})^2

Al ser estos hechos sucesos independientes la probabilidad de la intersección es el producto de las probabilidades. Aplicando este hecho obtenemos que la probabilidad de que dos números escogidos al azar sean coprimos es el producto de estos p_i. Esto es:

P=(1-(\frac{1}{2})^2)(1-(\frac{1}{3})^2) \cdots (1-(\frac{1}{n})^2)

Tomamos n hasta la raíz cuadrada de la cota superior.

Haciendo n\to\infty obtenemos la probabilidad buscada.

Para calcularla utilizaremos la fórmula de la suma de una progresión geométrica. Esta fórmula es:

\displaystyle\sum_{n=0}^\infty {a^n}=1+a+a^2+ \cdots a^k+ \cdots =\cfrac{1}{1-a}

Por ejemplo, para el primer término tomamos a=(\frac{1}{2})^2 y damos la vuelta a la fórmula anterior:

1-\left (\cfrac{1}{2} \right )^2= \cfrac{1}{1+\left (\cfrac{1}{2} \right )^2+\left (\cfrac{1}{2} \right )^4+ \cdots +\left (\cfrac{1}{2} \right )^{2k}}

Haciendo lo mismo con todos los números primos nos queda lo siguiente:

P= \cfrac{1}{1+(\frac{1}{2})^2+(\frac{1}{2})^4+ \cdots +(\frac{1}{2})^{2k}} \cdot \cfrac{1}{1+(\frac{1}{3})^2+(\frac{1}{3})^4+ \cdots +(\frac{1}{3})^{2k}} \cdots

Ya estamos cerca.

Miremos ahora qué pasaría si multiplicáramos todas las fracciones y desarrolláramos todos los productos. El resultado sería una fracción cuyo numerador es 1 y cuyo denominador es una suma de fracciones. ¿Qué tienen de particular esas fracciones? Pues muy sencillo: todas ellas tienen numerador 1 y denominador un cuadrado perfecto. De hecho hay más: haciendo k,n\to\infty tenemos que en el denominador aparece la suma de los inversos de los cuadrados perfectos de todos los números naturales. Es decir, que esa probabilidad tiende a una fracción cuyo numerador es 1 y cuyo denominador es la suma de los inversos de los cuadrados perfectos de todos los números naturales. ¿Os suena esa suma? ¡Exacto!: El problema de Basilea. El valor de esta suma es bien conocido:

\displaystyle 1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+ \cdots +\frac{1}{k^2}+ \cdots=\sum_{n=1}^\infty {\cfrac{1}{n^2}}=\cfrac{\pi^2}{6}

Por tanto tenemos:

P=\cfrac{1}{\displaystyle\sum_{n=1}^\infty {\cfrac{1}{n^2}}}=\cfrac{1}{\frac{\pi^2}{6}}=\cfrac{6}{\pi^2}

Esto es:

La probabilidad de que al elegir dos números naturales mayores o iguales que 2 sean primos relativos es
P=\cfrac{6}{\pi^2}

q.e.d.

Fuente: MENSA

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