Hoy día 7 de diciembre, justo en el centro de un interesante puente, creo que es buen momento para ejercitar un poco la mente con el problema de la semana. Ahí va el enunciado:
Sea
un número natural. Si denotamos como
a la parte entera del número real
(es decir, el mayor número entero menor o igual que
), demostrar que existe un único natural
tal que
es divisible por
. Indicar también el valor de
.
Venga, suerte y a por él.
¿Te ha gustado la entrada? Puedes invitarme a un café, Gauss te lo agradecerá 😉
[…] This post was mentioned on Twitter by gaussianos, 0°C. 0°C said: RT @gaussianos: Gaussianos.com: Problema sobre números naturales http://bit.ly/eSpIdb […]
¿x = n+1?
Creo que Luis tiene razón. Se puede demostrar con facilidad que x=n+1 cumple las condiciones. No sé cómo demostrar la unicidad.
Se cumple que
porque
(sigue)
(…)
y
En este último caso para valores n>1
Ahora sumamos la unidad en las desigualdades y tenemos que la expresión está comprendida entre n y n +1/2 con lo que su parte entera es n
Información Bitacoras.com…
Valora en Bitacoras.com: Hoy día 7 de diciembre, justo en el centro de un interesante puente, creo que es buen momento para ejercitar un poco la mente con el problema de la semana. Ahí va el enunciado: Sea un número natural. Si denotamos como a la……
Efectivamente, la solución es
. En ese caso
.
Para
podemos ver que
está entre 2 y
así que no puede ser múltiplo de n: Como
es menor que
,
debe ser mayor que 2 y tenemos que
y por tanto
y
.
El caso
es muy fácil de descartar.
Para
,
está entre
y
y no puede ser múltiplo de
.
buenas!, yo lo hice así:
desarrollando la parte izquierda de (1):
saludos!
Muy buena, Gulliver. Me parece que hay un punto donde debes distinguir el caso
, que es inmediato. Escribo otra variante:
Suponemos directamente que
. Ya que
se tendrá, despejando, que
. Así que
. El caso
cumple el requisito, mientras que el caso
no.
Si consideramos
, y tuviéramos
, con
natural, entonces
, y despejando tendríamos
, lo cual es absurdo pues
debería ser natural comprendido entre dos naturales consecutivos.