Tienes a tu disposición los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 y las operaciones suma, resta, multiplicación, división y potenciación. También puedes usar paréntesis y concatenar números (por ejemplo, puedes escribir 34). Puedes usar todas las operaciones o sólo algunas, pero estás obligado a usar todos los números. Con estas normas, ¿cuántos números enteros positivos serías capaz de representar?

Por ejemplo, ¿sabrías representar el 1371? Piénsalo, prueba, y después baja un poco…

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…¿ya? Aquí tienes una opción:

1371=18+435 \cdot 2+69 \cdot 7

Si habéis probado durante un rato, igual habéis encontrado otras opciones. Aquí os presento dos más:

\begin{matrix} 1371=12 \cdot (3+45)+6+789 \\ \\ 1371=9 \cdot 8+7+6 \cdot 5 \cdot 43+2 \cdot 1 \end{matrix}

Estas dos posibilidades tienen, cada una de ellas, una característica que no tiene la anterior. La primera utiliza los números disponibles en orden ascendente, y la segunda los usa en orden descendente. Por poner otro ejemplo, aquí tenéis las representaciones ascendente y descendente para el año 2017 que acabamos de empezar:

\begin{matrix} 2017=12^3+4 \cdot 56+7 \cdot 8+9 \\ \\ 2017=98+7 \cdot 6+5^4 \cdot 3 +2 \cdot 1 \end{matrix}

¿Se podrá hacer esto con todos los enteros positivos, digamos, hasta el 1000? ¿Y hasta el 10000? ¿Se podrá hacer con todos los enteros positivos o habrá alguno para el que no se pueda? ¿Existirá alguien en nuestro planeta que tenga tiempo y ganas para ir buscando este tipo de representaciones número a número?

Para esta última pregunta tenemos respuesta: Inder J. Taneja, profesor de matemáticas de la Universidade Federal de Santa Catarina, en Brasil. El señor Taneja ha encontrado representaciones ascendentes y descendentes de la forma comentada antes para todos los números enteros desde el 0 hasta el 11111. El trabajo en el que se puede ver todas estas representaciones está disponible en arXiv: Crazy Sequential Representation: Numbers from 0 to 11111 in terms of Increasing and Decreasing Orders of 1 to 9 (es su quinto trabajo relacionado con este tema). Aquí tenéis una captura de una de las páginas del mismo:

Hace un momento os he dicho que Taneja ha representado así todos los enteros desde el 0 hasta el 11111, pero en realidad esto no es cierto: hay uno que se le ha resistido. Más concretamente, no ha encontrado representación ascendente para el 10958, aunque sí ha encontrado la descendente:

10958=(9+8 \cdot 7 \cdot 65+4) \cdot 3-2+1

Por otra parte, en su trabajo también señala que hay 8 números para los cuales ha necesitado utilizar la división:

\begin{matrix} 9668=-9-8-(7-6^5/4) \cdot (3+2) \cdot 1 \\ \\ 9686=9-8-(7-6^5/4) \cdot (3+2) \cdot 1 \\ \\ 9986=(12+3)^4/5-67-8 \cdot 9 \\ \\ 10084=(12+3)^4/5+6-7 \cdot 8+9 \\ \\ 10121=(12+3)^4/5+6+7-8-9 \\ \\ 10802=(9 \cdot (8-(7-6)^5)^4-3)/2-1 \\ \\ 11027=-1 \cdot 2 +(3 \cdot 4 \cdot 5^6-7)/(8+9) \\ \\ 11038=(9 \cdot 8 \cdot 7 +6^5) \cdot 4/3-2 \cdot 1 \end{matrix}

¿Se podrá encontrar alguna representación ascendente para el 10958? ¿Existirán representaciones de los 8 números anteriores que no necesiten a la división? Ya tenemos entretenimiento, a ver si sale algo y ayudamos así a Inder Taneja.

Queda en el aire la pregunta de si todos los enteros positivos pueden representarse de esta manera. Yo no tengo respuesta a dicha pregunta, y no sé si alguien la tendrá, ya sea en la actualidad o en algún momento del futuro. Si alguien tiene más información sobre este tema que nos lo cuente en los comentarios.


Me enteré de esto por esta entrada de Futility Closet.

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