La paradoja de Banach-Tarski es, sin lugar a dudas, uno de los resultados matemáticos más extraños que nos podemos encontrar (dentro de los que poseen un enunciado comprensible para cualquier hijo de vecino). De este teorema (sí, es un teorema) ya hemos hablado en este blog (post a partir del cual Gaussianos apareció en un libro italiano dedicado a Martin Gardner), pero sigue siendo una cuestión lo suficientemente interesante como para compartir nuevos contenidos relacionados con ella.
En esta ocasión os traigo un vídeo que lleva un par de semanas en la red (que, entre otros, me recomendó nuestro gran seguidor y comentarista Asier en este comentario) que trata esta paradoja y que en tan poco tiempo lleva ya casi dos millones y medio de visitas. En él, como podréis ver, también se habla de la paradoja del chocolate infinito (cuya solución podéis ver aquí/a>), del método diagonal de Cantor y del hotel infinito de Hilbert, entre otros temas. En definitiva, un vídeo que no te puedes perder (aunque esté en inglés):
Por cierto, imperdible también la versión de la canción Barbra Streisand dedicada a la paradoja de Banach-Tarski. Porque en las matemáticas también tiene cabida el humor.
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Lo que no entiendo es por que él en el 3:13 dice que un conjunto infinito contable significa que se puede contar en una cantidad finita de tiempo. En vez de haber dicho algo mas cercano a lo que se entiende por un conjunto infinito contable como aquel en el que se puede establecer una correspondencia sobreyectiva sobre los naturales. Ademas de ser algo a lo que no le encuentro sentido.
@Cantor762
Lo que dice el vídeo es que cualquier subconjunto de un infinito contable se puede contar en una cantidad finita de tiempo: ir desde 5 hasta
puede llevar más tiempo que la vida del universo, pero es un tiempo finito. Esto no pasa con un infinito incontable: no es posible contar todos los números entre 
y 
, por ejemplo.
Saludos
@RGB
No es cierto lo que planteas, los pares son un subconjunto de un Conjunto infinito contable (los naturales) y no se pueden contar en tiempo finito, tampoco los impares, los primos, las potencias de
con 
en los naturales. Y asi mismo una cantidad (no numerable por cierto) de otros subconjuntos.
Así que no concuerdo con el hecho de que cualquier subconjunto de un conjunto infinito contable puede ser contado en tiempo finito. También me hizo «ruido» ese comentario en ese minuto del video.
Saludos!
Empieza «contando» el 1. Una hora después «cuenta» el 2. Media hora más tarde, el 3. Dentro de un cuarto de hora, el 4. Siete minutos y medio después, el 5. Etcétera.
En dos horas habrás contado todos los numeros naturales (salvo, quizás, el cero :p).
Será entonces un subconjunto cerrado 😉 Pero tienes razón. Es que hay días en que el café me sale demasiado ligero y después no reacciono…
No te preocupes! pero aún así veo dificultad en definir un conjunto cerrado en los naturales, depende de la topología.
Con la topología («usual») en los naturales, que es la discreta (o de las partes), los conjuntos infinitos mencionados seguirían siendo cerrados. Y con la topología cofinita efectivamente los cerrados son los conjuntos infinitos!
Es muy interesante como con sólo los números naturales se puede hacer muchísimo!
felice ripassare