En Gaussianos ya hemos hablado del principio de inducción en alguna ocasión. En este post vamos a ver una curiosa propiedad de los números naturales y vamos a demostrarla por este método.

Comencemos volviendo a enunciar el principio de inducción:

Supogamos que tenemos un subconjunto A de números naturales que verifica lo siguiente:
1.- 0 pertenece a A
2.- Si k pertenece a A entonces k+1 pertenece a A
Entonces A es el propio conjunto N de los números naturales

Si cambiamos 0 por cualquier otro número natural, digamos m, en el punto 1.- obtendríamos que el conjunto A sería exactamente el subconjunto de los números naturales cuyo elemento mínimo es m. Por ejemplo, si m=4 y se cumplen 1.- y 2.- entonces A={4,5,6,7,…}.

En esta ocasión volveremos a utilizarlo de la misma forma que se hizo en el post que enlazamos en el primer párrafo, pero comenzando en 1: si nuestra propiedad se cumple para el 1 y en el caso de que se cumpla para cierto número natural n entonces se cumple para n+1 se tiene que se cumple para todos los números naturales a partir del 1.

Vamos ahora con la propiedad de la que hablamos al comienzo:

\begin{matrix} 1=1^2 \\ 1+3=4=2^2 \\ 1+3+5=9=3^2 \\ 1+3+5+7=16=4^2 \\ 1+3+5+7+9=25=5^2 \end{matrix}

Si sumamos el primer impar obtenemos 1 al cuadrado; si sumamos los dos primeros impares obtenemos 2 al cuadrado; si sumamos los tres primeros impares el resultado es 3 al cuadrado; y así sucesivamente. ¿Seguro? Eso es justamente lo que vamos a demostrar, que esta propiedad se cumple siempre, sean cuantos sean los números impares que yo sume. Es decir, vamos a demostrar que, \forall n > 1, se cumple que:

\mathbf{1+3+5+\ldots+(2n-1)=n^2}

El primer paso es comprobar el primer punto, es decir, que nuestra propiedad se cumple para el primer elemento de nuestro conjunto, que en este caso es n=1. Tendríamos que ver que la suma de todos los impares desde 1 hasta 2·1-1 es 1^2, o lo que es lo mismo, que 1=1^2. Pero eso es bastante evidente y además ya lo hemos escrito anteriormente.

Vamos con el segundo y último paso. Para ello lo que hacemos es suponer que la propiedad se cumple para el caso n (esta hipótesis se denomina hipótesis de inducción) y con ello demostramos el caso n+1. Es decir, a partir de 1+3+5+\ldots+(2n-1)=n^2 vamos a demostrar que:

\mathbf{1+3+5+\ldots+(2n-1)+(2(n+1)-1)=(n+1)^2}

Comencemos la demostración de este hecho:

1+3+5+\ldots+(2n-1)+(2(n+1)-1)=1+3+5+\ldots+(2n-1)+(2n+1)=

Ahora, usando la hipótesis de inducción, sustituimos todos los sumandos (menos el último) por n^2. Y si echamos un vistazo a la expresión resultante vemos que lo que hemos obtenido es precisamente el objetivo buscado:

=n^2+(2n+1)=n^2+2n+1=(n+1)^2

Por tanto, ahora sí podemos afirmar sin ningún género de dudas que, para todo n > 1, se tiene que

\mathbf{1+3+5+\ldots+(2n-1)=n^2}

Como podéis ver, el principio de inducción es una herramienta no demasiado complicada y bastante potente para demostrar propiedades de los números naturales. Mis alumnos de Cálculo de Informática seguro que lo tienen bastante claro.

Y para concluir el post, os dejo una petición: si alguien conoce alguna propiedad interesante y/o curiosa de los números naturales que sea demostrable por inducción que nos la mande a gaussianos (arroba) gmail (punto) com y nosotros se la publicamos en cuanto la tengamos preparada. El blog también es vuestro y, como siempre, estamos abiertos a cualquier tipo de sugerencia o colaboración.

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