La conjetura de Casas-Alvero, contada por Eduardo Casas-Alvero
Mar24

La conjetura de Casas-Alvero, contada por Eduardo Casas-Alvero

Hace unas semanas recibía un mail de Dani, un lector de Gaussianos, que me hablaba sobre la posibilidad de publicar en el blog un problema que él me proponía. La naturaleza del mismo me llamó la atención lo suficiente como para publicarlo: ¡era un problema abierto!, es decir, un problema del que todavía no se conoce la solución. Evidentemente en el enunciado no se hacía referencia a esta característica del problema. Simplemente se pedía demostrar un cierto resultado o encontrar un contraejemplo. Podéis ver el problema y los comentarios sobre el mismo haciendo click en este enlace.

La idea era provocar la curiosidad de la gente por el problema sin saber que todavía no se había resuelto, para ver si alguien daba con alguna idea interesante para una posible demostración. Esto, que puede parecer un objetivo inalcanzable, en realidad no era tan descabellado, ya que este problema no es de hace demasiado tiempo, por lo que podría existir algún camino sencillo para llegar a su demostración que todavía no se hubiera explorado.

La cuestión es que el problema se conoce como conjetura de Casas-Alvero y la propuso un matemático español, Eduardo Casas-Alvero, de la Universidad de Barcelona. En los comentarios del artículo podéis ver que hay gente que publica intentos de demostración, pero que por desgracia no llegan a nada, a todos se les encuentra algún pero. Días después de la publicación del problema, hernan descubre el pastel…y me destroza un artículo, en el que tenía pensado contar la naturaleza del problema y dar algún detalle más.

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Ceros de un polinomio y de sus derivadas

Hoy lunes, último día de febrero de 2011, os dejo el problema de esta semana. El enunciado es el siguiente:

Sea f(x) un polinomio de grado n > 0 con coeficientes complejos que comparte un cero (una solución) con cada una de sus derivadas no triviales (es decir, tal que f(x) y f^{k)}(x) tienen una raíz común para k=1, \ldots ,n-1). Demostrar que entonces debe ser

f(x)=a \cdot (x-b)^n

para ciertos números complejos a, b o encontrar una función distinta a la anterior un polinomio distinto al anterior que cumpla las condiciones anteriores.

Que se dé bien.

Actualización: enunciado editado para corregir un pequeño error.

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Curiosidades sobre algunas funciones complejas

Introducción

Como ya hemos visto en alguna ocasión los números complejos son un conjunto fascinante donde además ciertas propiedades de los números reales dejan de cumplirse o cambian de forma. Un ejemplo claro de ello es la imposibilidad de definir en \mathbb{C} un orden total coherente con las operaciones y con el orden de los números reales, hecho que vimos en este artículo.

Las funciones definidas sobre los números complejos tampoco se salvan de esto. Generalmente cumplen muchas de las propiedades que cumplen las correspondientes en \mathbb{R}, pero habitualmente aparece algún detalle que hace perdamos algo (o que ganemos). En este artículo vamos a ver tres funciones complejas y las compararemos con las reales para que se aprecien dichos cambios.

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Los curiosos enteros gaussianos
Feb01

Los curiosos enteros gaussianos

Introducción

Un joven Gauss

Un joven Gauss

El conjunto \mathbb{Z}=\{ \ldots -3,-2,-1,0,1,2,3 \ldots \} de los números enteros es un conjunto numérico bien conocido por todos nosotros. Y, aunque seguro que en menor medida, también lo es el conjunto \mathbb{C}=\{ a+bi; \; a, b \in \mathbb{R} \} de los números complejos, conjunto numérico muy interesante y muy útil en gran cantidad de problemas relacionados con muchas ramas de las matemáticas.

¿Qué ocurriría sin mezclamos las dos definiciones de estos conjuntos? Me explico:

¿Tendrá alguna utilidad considerar el conjunto de los números complejos cuyas partes real e imaginaria son números enteros?

No habría sido extraño que fuera algo así lo que pensó Gauss al introducir este conjunto en 1832 (aunque en realidad su motivación fue el estudio sobre sumas de cuadrados). Y la verdad es que acertó (como muchas otras veces). Encontró un conjunto realmente especial. Vamos a hablar un poco sobre él y sobre sus interesantes y curiosas propiedades.

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Calcular las raíces n-ésimas de z
May25

Calcular las raíces n-ésimas de z

Introducción

Aunque \mathbb{R}, el conjunto de los números reales, es un subconjunto de \mathbb{C}, el conjunto de los números complejos, entre ellos hay muchas diferencias. Hace un tiempo vimos una de ellas relacionada con la ausencia de orden en \mathbb{C} (al contrario de lo que ocurre en \mathbb{R}). Y en este artículo vamos a ver otra relacionada con raíces n-ésimas.

Como sabemos, las raíces en \mathbb{R} se pueden dividir en dos grupos en lo que al número de soluciones posible se refiere:

  • Raíces de índice par: tienen dos soluciones si el número es positivo, una solución si el número es el cero y ninguna solución si el número es negativo.
  • Raíces de índice impar: tienen una única solución para todo número real (ya sea positivo, negativo o cero).

En \mathbb{C} las cosas son mucho mejores: al calcular la raíz n-ésima obtenemos n soluciones, es decir, todo número complejo tiene 2 raíces cuadradas, 3 raíces cúbicas, etc. Esto es lo máximo que se puede pedir, obtener tantas soluciones como índice tenga la raíz. Vemos por qué:

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Coordenadas polares: otra forma de ver el plano complejo
May04

Coordenadas polares: otra forma de ver el plano complejo

Introducción

Todo punto del plano complejo (plano cartesiano) puede representarse con sus coordenadas (x,y), que son los puntos de cada uno de los ejes donde cortan las dos perpendiculares a los mismos que podemos trazar desde la propia representación del punto (esto es, las coordenadas que todos conocemos desde siempre). Estas coordenadas se denominan coordenadas rectangulares o cartesianas.

Esta forma de asignar coordenadas a los puntos del plano no es la única (de hecho en muchas ocasiones ni siquiera es la más aconsejable). Vamos a ver otra manera de asignar coordenadas a los puntos del plano: las coordenadas polares

Coordenadas polares

A todo punto P del plano cuyas coordenadas rectangulares son (x,y) podemos asignarle las siguientes coordenadas:

r=distancia del origen de coordenadas (0,0) al punto P
\theta=ángulo desde el semieje positivo del eje X al segmento que une el origen de coordenadas con P

Representado gráficamente sería así:

Coordenadas polares

Teniendo en cuenta esta definición se tiene que r \ge 0 y \theta \in \left [ 0, 2 \pi \right ] (se puede definir también el ángulo en el intervalo \left [ - \pi, \pi \right]).

Las ecuaciones que relacionan las coordenadas rectangulares con las polares son las siguientes:

Rectangulares en función de las polares

x=r \; cos(\theta)
y=r \; sen(\theta)

Polares en función de las rectagulares

r=+ \sqrt{x^2+y^2}
\theta=arctan(\textstyle{\frac{y}{x}})

Sobre la expresión del ángulo en función de las coordenadas rectangulares se debe realizar un apunte importante. La función arctan(x) da como resultado dos valores distintos, dos ángulos en cuadrantes opuestos (primero y tercero o segundo y cuarto). Por tanto hay veces en las que al calcular el ángulo puede que obtengamos un resultado incorrecto (puede que nos aparezca el ángulo del cuadrante incorrecto). La regla para el ángulo es la siguiente:

Calculamos el ángulo \theta (con la calculadora o con la ayuda del cuadro de las razones trigonométricas) y miramos los signos de las coordenadas (x,y) para ver en qué cuadrante está situado el punto P. Si el ángulo que hemos obtenido está en el mismo cuadrante que P el ángulo obtenido es el correcto. Si no es así sumamos o restamos \pi al ángulo que nos ha salido cuidando que el resultado de esa suma/resta quede dentro del intervalo \left [ 0, 2 \pi \right ]. Por ejemplo, si obtenemos el ángulo \textstyle{\frac{\pi}{3}} (que está en el primer cuadrante) y vemos que nuestro punto está en el tercer cuadrante (coordenadas (x,y) negativas) sumamos \pi al ángulo obtenido, resultando entonces que el \theta buscado es \theta=\pi + \textstyle{\frac{\pi}{3}} =\textstyle{\frac{4 \pi}{3}} (si en vez de sumar restáramos nos saldríamos de \left [ 0, 2 \pi \right ]).

Aplicaciones

Las coordenadas polares son enormemente interesantes al estudiar fenómenos relacionados con distancias y ángulos (a grandes rasgos se podría decir que interesan a la hora de estudiar conceptos relacionados con elipses y circunferencias). Vamos a enumerar unos cuantos:

  • Cálculo de límites dobles: a la hora de calcular un límite doble el método definitivo es el método del paso a coordenadas polares. Se pasa con ellas a un límite dependiente de una única variable, r (en concreto r \to 0), utilizando las ecuaciones de cambio de rectangulares a polares y se estudia si dicho límite depende del ángulo \theta. Si no existe tal dependencia el límite inicial existe y su valor es el obtenido en el límite en polares.
  • Ecuaciones de curvas: las coordenadas polares simplifican la expresión de las ecuaciones de ciertas curvas. Por ejemplo, la circunferencia de centro (0,0) y radio 3 tiene a x^2+y^2=9 como ecuación en coordenadas rectangulares y a r=3 como ecuación en polares.
  • Forma polar de un número complejo: todo punto del plano con coordenadas rectangulares (x,y) es la representación gráfica del número complejo z=x+iy (esta forma de representar un número complejo se denomina forma binómica del z). Pasando a polares obtenemos el módulo (r) y el argumento (\theta) de z y con ello la forma polar de z: z=r_{\theta}

    Expresar los números complejos en su forma polar simplifica mucho ciertas operaciones, como son la multiplicación, la división y el cálculo de raíces n-ésimas.

  • Cálculo de integrales dobles: cuando la región de integración de una integral doble es una circunferencia o una elipse (o parte de alguna de ellas) pasar a coordenadas polares es una opción muy interesante ya que simplifica mucho el cálculo de los límites de integración de la misma.
  • Navegación marítima: como la navegación marítima se basa en ángulos y distancias la utilización de las coordenadas polares simplifica mucho los cálculos necesarios para realizar dicha actividad.
  • Cálculos orbitales: las razones son las mismas que en el caso anterior.

Un toque de humor

Las coordenadas polares también sirven para darle un toque de humor matemático a nuestra vida:

¿Qué es un oso polar?
Un oso rectangular al que se le ha aplicado un cambio de coordenadas.

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