Recién acabado el año 2022, desde Gaussianos quiero desearos que hayáis pasado unas muy Felices Fiestas y que, de todo corazón, tengáis un muy Feliz Año 2023. Como ocurre desde hace ya unos años, las perspectivas no son especialmente buenas por varias razones, pero eso no implica necesariamente que el año que acaba de comenzar tenga que ser malo. Seguro que entre todos podemos conseguir que los próximos 365 días nos aporten momentos magníficos e inolvidables.

Y, como hago desde hace ya unos años, a continuación os dejo unas cuantas curiosidades del número 2023 recopiladas de distintas fuentes. Seguro que unas cuantas ya las habéis visto en webs y redes sociales durante estos días, pero espero que podáis encontrar por aquí alguna que sea nueva e interesante para vosotros.

Para comenzar, la que da título a esta entrada: 2023 es un año harshad. Decimos que un número es un número harshad (o número de Niven) si puede dividirse de forma exacta entre la suma de sus dígitos, y 2023 lo es:

\cfrac{2023}{2+0+2+3}=\cfrac{2023}{7}=289

Estos números fueron definidos por D. R. Kaprekar (sí, el de la constante de Kaprekar), y su denominación proviene del sánscrito y significa algo así como «que da alegría». También se llaman números de Niven, debido a un trabajo de Ivan M. Niven de 1977 sobre ellos.

Por cierto, el año pasado también fue un número harshad (2022 es divisible estre 2+0+2+2=6), y también lo serán 2024 y 2025. Tenéis más de estos números en la secuencia A005349 en la OEIS.

Claramente es un número impar y compuesto, al ser 2023=7 \cdot 17^2. Esto último implica esta curiosa expresión de 2023:

2023 = (2+0+2+3)(2^2+0^2+2^2+3^2)^2

Vamos, que se puede ver que 2023 tiene una relación muy estrecha con el número 7. De hecho, se cumple esta bonita relación:

7^7 \equiv 2023 \ (\mbox{mod } 7!)

Es decir, el resto de dividir 7^7 entre 7! es, exactamente, 2023. Qué chulada.

Además, es un número deficiente, ya que la suma de sus divisores propios (todos sus divisores excepto él mismo) es menor que el número en cuestión:

\begin{matrix} \mbox{Divisores de } 2023: \, 1, 7, 17, 119, 289, 2023 \\ \\ 1+7+17+119+289=433 < 2023 \end{matrix}

También es un número odioso, ya que su expresión en binario tiene un número impar de unos:

2023=11111100111_{(2}

Y, además, es un número de la suerte (en inglés, lucky number). Estos números aparecen de una forma parecida a cómo se generan los números primos en la criba de Eratóstenes. Sería algo así:

  • Comenzamos con la lista de números enteros positivos:

    1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25, \ldots

  • Tras el 1, el primer número de la lista es el 2. Volvemos a la lista y eliminamos todos los números que hay contando de 2 en 2 desde el principio:

    1,\ 3,\ 5,\ 7,\ 9,\ 11,\ 13,\ 15,\ 17,\ 19,\ 21,\ 23,\ 25, \ldots

  • El siguiente número de la lista es el 3. Pues volvemos a la lista que nos ha quedado y eliminamos todos los números que hay contando de 3 en 3 desde el principio:

    1,\ 3,\ 7,\ 9,\ 13,\ 15,\ 19,\ 21,\ 25, \ldots

  • El siguiente de los que queda es el 7. Pues, ahora, hacemos lo mismo con los números contando de 7 en 7:

    1,\ 3,\ 7,\ 9,\ 13,\ 15,\ 21,\ 25, \ldots

Los números que quedan son los llamados números de la suerte (secuencia A000959 en la OEIS). Pues bien, en la posición 279 de esta lista de números de la suerte está el 2023.

Con todo esto, 2023 ya sería un número con algunas propiedades interesantes, pero hay mucho más:

  • 2023 es un número congruente, al ser igual al área de un triángulo rectángulo de catetos racionales:

    (a,b,c)=\left (\cfrac{595}{12},\cfrac{408}{5},\cfrac{5729}{60} \right ) \Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} a^2+b^2=c^2 \\ \\ \cfrac{a \cdot b}{2}=2023 \end{array} \right.

    Se da la circunstancia de que 2022 también es un número congruente, pero 2024 no lo es. Más información en la secuencia A003273 en la OEIS.

  • 2022 es un número educado (en inglés, polite number), ya que puede expresarse como suma de dos o más enteros positivos consecutivos. Aquí os dejo algunas maneras (¿puedes encontrar alguna más?):

    \begin{matrix} 2023=1011+1012 \\ \\ 2023=286+287+288+289+290+291+292 \\ \\ 2023=111+112+113+114+\ldots+124+125+126+127 \end{matrix}

    Por cierto, también puede generarse mediante la suma de siete números primos consecutivos (gracias, Matemáticas Cercanas):

    2023=271+277+281+283+293+307+311

Interesantes propiedades, pero todavía hay más. En concreto, las que tanto nos gustan relacionadas con ternas pitagóricas:

El número 2023 es la hipotenusa de, exactamente, dos ternas pitagóricas:

\begin{matrix} (952,1785,2023) \longrightarrow 952^2+1785^2=2023^2 \\ \\ (1127,1680,2023) \longrightarrow 1127^2+1680^2=2023^2 \end{matrix}

Ambos triángulos pueden verse en la imagen que encabeza esta entrada. Además, 2023 es miembro de otras siete ternas pitagóricas más, siendo el cateto más pequeño en todas ellas:

\begin{matrix}(2023,2040,2873) \\ (2023,6936,7225) \\ (2023,17136,17255) \\ (2023,120360,120377) \\ (2023,292320,292327) \\ (2023,2046264,2046265) \\ (2023,41736,41785) \end{matrix}

De las nueve, solamente son ternas pitagóricas primitivas las dos últimas de esta lista. Más sobre ternas pitagóricas, aquí en Gaussianos.

Pero no queda todo ahí:

Un número triangular representa un número de puntos que se pueden disponer formando un triángulo equilátero. El n-ésimo número triangular, T_n, tendrá n puntos en cada uno de los lados del triángulo. La fórmula que genera estos números, para n \geq 1, es:

T_n=\cfrac{n(n+1)}{2}

Bien, pues se da la circunstancia de que 2023 es la suma de todos los números triangulares desde n=2 hasta n=22:

2023=T_2+T_3+T_4+ \ldots +T_{20}+T_{21}+T_{22}

Evidentemente, aún hay más:

Se puede expresar 2023 como la suma de los cuadrados de siete números impares en progresión aritmética:

2023=3^2+7^2+11^2+15^2+19^2+23^2+27^2

Sobre esto, os dejo esta bonita imagen que Francisco Javier García Capitán (su blog y su web) nos dejó en Retos Matemáticos, un magnífico grupo de Telegram en el que se ha juntado mucho crack de matemáticas y en el que se generan conversaciones muy interesantes:

Por cierto, en el mismo grupo podemos encontrar esta otra imagen con unas interesantes igualdades que involucran a raíces cuadradas y 2023, proporcionada en este caso por David Rivas:

Y ahora, una de las propiedaes que más me ha sorprendido de este 2023 que numera el año que acaba de comenzar:

El número de maneras distintas en las que se puede teselar un cuadrado 4×4 usando triominós (figuras con tres cuadrados) en forma de L y monominós (figuras con un único cuadrado) es, exactamente, 2023.

Aquí tenéis algunos ejemplos:

Si queréis verlas todas, podéis hacer click en el siguiente enlace: Teselaciones de un 4×4 en triominós en L y en monominós.

Aunque he estado unos días buscando, no he conseguido encontrar una fuente en la que se hable de esta propiedad (solamente, la web en la que he encontrado la imagen). Me gustaría poder ver algún trabajo en el que se expliqué cómo se ha llegado a este resultado, y también en el que se hable de resultado parecidos para otros cuadrados. Si alguien encuentra información al respecto, le agradeceremos que nos hable de ello en los comentarios.

Y, aprovechando que en estas fechas se está celebrando el mundial de dardos (bueno, y porque estuve muchos años jugando a los dardos y me encantan), una propiedad de este número relacionada con este mundo:

2023 es el número más pequeño que no se puede conseguir tirando 34 dardos a una diana convencional (se entiende que puntuamos con todos los dardos).

De hecho, tenemos una expresión recurrente sencilla para calcular ese menor número «imposible», para todo n:

\left \{ \begin{array}{l} a_1=23 \\ a_2=103 \\ a_n=a_{n-1}+60, \, \forall n \geq 3 \end{array} \right.

Esto significa, entre otras cosas, que el número más pequeño que no se puede conseguir con un dardo es 23, que el más pequeño imsposible de conseguir con dos dardos es 103 y que no volveremos a tener un número de este tipo hasta dentro de 60 años. Ah, y como no podía ser de otra forma, tenéis más de estos números en la secuencia A241746 de la OEIS.

Para terminar, os dejo este enlace de la página de Inder J. Taneja con muchas más curiosidades numéricas de 2023: 23 and 2023 in Numbers and Patterns.

Y si tú conoces más propiedades numéricas curiosas y/o interesantes de este nuevo año que comienza, no dudes en dejárnoslas en los comentarios de esta entrada. Muchas gracias a todos.

Actualización: Una nueva propiedad de 2023 que nos proporcionado Pedro Daniel en este tuit:

Un número es equidigital si su factorización en números primos se escribe exactamente con la misma cantidad de dígitos que el propio número (sin contar los exponentes 1). Como 2023=7 \cdot 17^2, tenemos que 2023 es un número equidigital.

Por cierto, los números equidigitales aparecen en la secuencia A046758 de la OEIS.

Fuentes:

Curiosidades de otros años publicadas en el blog:

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