Este artículo es una colaboración enviada por fede

Introducción

Haciendo uso del hecho de que a cada punto del plano le corresponde un vector y de que los vectores se suman según la regla del paralelogramo, vamos a demostrar las fórmulas para el seno y el coseno de la suma de dos ángulos en función de los senos y cosenos de cada uno de ellos. Concretamente vamos a demostrar las siguientes igualdades:

sen(a+b)=sen(a)cos(b)+cos(a)sen(b)

cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sen(a)sen(b)

Demostración

La recta por el origen que hace un ángulo a con el eje X corta al círculo con centro en el origen y radio unidad en un punto de coordenadas (\cos(a), \mathrm{sen}(a) ) = \cos(a)(1,0) + \mathrm{sen}(a)(0,1), por definición de seno y coseno.

Si rotamos los puntos del plano alrededor del origen un ángulo b, el punto (1,0) se mueve a la posición (\cos(b), \mathrm{sen}(b) ), y el punto (0,1) se mueve a la posición (-\mathrm{sen}(b) , \cos(b)) (ver figura).

Por lo tanto un punto cualquiera (x,y) = x \cdot (1,0) + y \cdot (0,1) se mueve a la posición x \cdot (\cos(b), \mathrm{sen}(b) ) + y \cdot (-\mathrm{sen}(b) , \cos(b)).

En particular el punto (\cos(a), \mathrm{sen}(a)) se mueve a la posición cos(a) \cdot (cos(b), sen(b)) + sen(a) \cdot (-sen(b),cos(b))

que al multiplicar nos queda:

(cos(a) cos(b) - sen(a)sen(b) , cos(a) sen(b) + sen(a)cos(b)).

Pero el punto (\cos(a), \mathrm{sen}(a) ) se mueve claramente con la rotación a la posición (\cos(a+b), \mathrm{sen}(a+b) ). De donde, igualando coordenadas, resultan las dos fórmulas:

\begin{matrix} \cos(a+b) = \cos(a) \cos(b) -  \mathrm{sen}(a)\mathrm{sen}(b) \\ \mathrm{sen}(a+b) = \mathrm{sen}(a)\cos(b) + \cos(a) \mathrm{sen}(b) \end{matrix}
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