En Matemáticas hay igualdades muy útiles, interesantes o simplemente bellas. La identidad de Euler es, para mí, una igualdad que lo tiene todo. Relaciona los que podríamos considerar como los 5 números más importantes de las Matemáticas: e, π (Pi), i, 0 y 1. ¿Cómo los relaciona?. Pues de la siguiente forma:

Explicación

¿Por qué se cumple esa igualdad?. Pues muy sencillo. Vamos con la demostración:

Partimos de la expresión de la exponencial en forma de serie:

Sustituímos x por z·i, usamos que i1 = i, i2 = -1, i3 = -i, i4 = 1 (a partir de aquí se va repitiendo el ciclo de resultados) y agrupamos las potencias pares de z por un lado y las impares por otro, obteniendo:

Sabiendo que las expresiones de sin x y cos x en forma de serie son:

llegamos a:

Sustituímos z por π (Pi):

Pasando -1 a la izquierda como +1 llegamos a la identidad buscada:

(Imágenes sacadas de la Wikipedia).

Por cierto, la primera imagen que aparece en el post proviene de la web de Justin Mullins. En su galería podéis ver más imágenes relacionadas con las Matemáticas.

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