En Matemáticas hay igualdades muy útiles, interesantes o simplemente bellas. La identidad de Euler es, para mí, una igualdad que lo tiene todo. Relaciona los que podríamos considerar como los 5 números más importantes de las Matemáticas: e, π (Pi), i, 0 y 1. ¿Cómo los relaciona?. Pues de la siguiente forma:

Explicación

¿Por qué se cumple esa igualdad?. Pues muy sencillo. Vamos con la demostración:

Partimos de la expresión de la exponencial en forma de serie:

e^x=1+\cfrac{x}{1!}+\cfrac{x^2}{2!}+\cfrac{x^3}{3!}+\ldots=\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} \cfrac{x^n}{n!}}

Sustituímos x por z·i, usamos que i^1=i, i^2=-1, i^3=-i, i^4=1 (a partir de aquí se va repitiendo el ciclo de resultados) y agrupamos las potencias pares de z por un lado y las impares por otro, obteniendo:

\begin{matrix} e^{z \cdot i}=1+\cfrac{z \cdot i}{1!}+\cfrac{-z^2}{2!}+\cfrac{z^3 \cdot (-i)}{3!}+\cfrac{z^4}{4!}+\ldots=\\ \\ =\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} \left (\cfrac{(-1)^n \cdot z^{2n+1}}{(2n+1)!} \right ) \cdot i+\sum_{n=0}^{\infty} \left (\cfrac{(-1)^n \cdot z^{2n}}{(2n)!} \right )} \end{matrix}

Sabiendo que las expresiones de sin x y cos x en forma de serie son:

\begin{matrix} \sin{(x)}=x-\cfrac{x^3}{3!}+\cfrac{x^5}{5!}-\cfrac{x^7}{7!} \pm \ldots=\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} \cfrac{(-1)^n \cdot x^{2n+1}}{(2n+1)!}} \\ \\ \cos{(x)}=1-\cfrac{x^2}{2!}+\cfrac{x^4}{4!}-\cfrac{x^6}{6!} \pm \ldots=\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} \cfrac{(-1)^n \cdot x^{2n}}{(2n)!}} \end{matrix}

llegamos a:

e^{z \cdot i}=i \cdot \sin{(z)}+\cos{(z)}

Sustituimos z por π (Pi):

e^{\pi \cdot i}=i \cdot \sin{(\pi)}+\cos{(\pi)}=i \cdot 0-1=-1

Pasando -1 a la izquierda como +1 llegamos a la identidad buscada:

e^{i \cdot \pi}+1=0

Por cierto, la primera imagen que aparece en el post proviene de la web de Justin Mullins. En su galería podéis ver más imágenes relacionadas con las Matemáticas.

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