Si tomamos un problema de matemáticas y cambiamos algún símbolo, en principio podríamos obtener un problema más sencillo o incluso un enunciado que no llega a tener entidad de problema. Pero podría pasar que ese cambio de condiciones nos lleve a un problema más interesante que el primero. La historia que os traigo hoy tiene mucho que ver con éste último caso.

Comencemos planteando el siguiente problema:

Dada la sucesión x_n definida por la siguiente recurrencia

\left \{ \begin{array}{l} x_1=\beta > 0 \\ \\ x_{n+1}=\left ( 1+\cfrac{1}{x_n} \right )^{x_n} \end{array} \right.

se pregunta lo siguiente: ¿existe algún valor de \beta para el cual x_n tiende a \infty?

Este problema se planteó en un examen del Departamento de Matemáticas de la Universidad de Bucarest sobre 1970, y su respuesta es negativa. Es decir: no existe ningún valor de \beta para el cual dicha sucesión sea divergente. Sea cual sea \beta, la sucesión x_n es convergente, y converge siempre al siguiente valor:

x_n \xrightarrow{n \rightarrow \infty} 2.2931662874118610315080282912508 \ldots

que es la única solución de la ecuación x=\left ( 1 + {1 \over x} \right )^x. Si alguien se ve con ganas de atacarlo, puede dejarnos sus progresos en los comentarios.

El problema que acabamos de ver apareció en un número de la revista rumana Gazeta Matematică a mediados de los años 70 del pasado siglo. Bueno, en realidad no apareció este problema, sino uno casi igual que contenía un error tipográfico. Concretamente, el problema que apareció en la revista es el siguiente:

Dada la sucesión x_n definida por la siguiente recurrencia

\left \{ \begin{array}{l} x_1=\alpha > 0 \\ \\ x_{n+1}=\left ( 1+\cfrac{1}{x_n} \right )^{n} \end{array} \right.

se pregunta lo siguiente: ¿existe algún valor de \alpha para el cual x_n tiende a \infty?

¿Veis la sutil diferencia? Exacto: el exponente ya no es x_n, sino n.

Ciprian FoiasEl problema llegó al matemático rumano Ciprian Foias en aquella época a través de un estudiante, y lo resolvió…pero no se quedó ahí. Foias consideraba que el problema era demasiado complicado para el examen en el que estaba propuesto, e indagó en el asunto. Su investigación fructificó poco después: el problema contenía un error tipográfico (el que acabamos de comentar). Más tarde, el problema llegó a oídos de John Ewing, quien también lo resolvió. En el año 2000, se publicaba An Interesting Serendipitous Real Number, de Foias y Ewing, en el que se cuenta la historia del problema y se da una solución.

En contraposición al problema anterior, lo que encontraron Foias y Ewing fue que sí que existe un valor de \alpha > 0 para el cual la sucesión x_n tiende a \infty. De hecho, existe un único valor de \alpha > 0 para el cual ocurre lo que comentamos. Dicho valor, que a partir de aquel momento se conoce como constante de Foias, es el siguiente:

\alpha=1.187452351126501054595480 \ldots

Este problema tiene interés tanto por la dificultad a la hora de resolverlo como por la diferencia en la solución en relación con el problema anterior. Pero el valor de \alpha que se obtiene tiene otra particularidad: no se conoce ninguna expresión de la constante de Foias mediante operaciones elementales, como raíz de alguna ecuación o como combinación de otras constantes conocidas. Vamos, que no se tiene demasiada idea de qué número es este \alpha.

Por otra parte, también sorprende que esta sucesión tenga cierta relación con la función contadora de primos \pi(n). Más concretamente, Foias y Ewing demostraron que:

\displaystyle{\lim_{n \to \infty} \cfrac{x_n}{\pi(n)}=1}

Relación que, por cierto, los propios Foias y Ewing creen que es totalmente fortuita. También se sabe lo siguiente:

\displaystyle{\lim_{n \to \infty} x_n \cdot \cfrac{ln(n)}{n}=1}

¿Qué importancia/trascendencia tienen estos resultados? ¿Se encontrará alguna expresión de \alpha en función de operaciones elementales o como raíz de alguna ecuación? Todavía no hay respuestas a estas preguntas. Esperemos que, en algún momento, podamos responder a todo esto.


Fuentes:

La imagen de Ciprian Foias la he tomado de aquí, y la imagen principal de aquí.


No he podido encontrar el número concreto de Gazeta Matematică en el que aparece el problema. Si alguien lo encuentra, agradecería que nos dejara el enlace en un comentario. Tampoco he podido encontrar el paper de Ewing y Foias completo (solamente las previews de páginas de pago), por lo que también agradeceré a quien nos lo deje en los comentarios. Muchas gracias de antemano.


Esta entrada participa en la Edición X1 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza nuestro querido Tito Eliatron.

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