A estas alturas, seguro que muchos de vosotros estaréis al tanto del reto matemático que lanzó Crespo (mundialmente conocido como Quantum Fracture) en su canal de Youtube. En él, y ataviado de mago, «demuestra» que 1=0 de seis formas distintas, y reta al resto del mundo a encontrar los «trucos» utilizados en cada una de sus «demostraciones» y a publicar un vídeo-respuesta al suyo.

En esta entrada voy a refutar los desarrollos del vídeo de Crespo, indicando en cada caso dónde está la falacia correspondiente. Por desgracia, no he tenido tiempo (ni tampoco medios técnicos suficientes) para hacer un vídeo en condiciones, por lo que he decidido hacerlo por escrito y aprovechar el trabajo que ya tengo hecho. Porque, amigos míos, en Gaussianos ya habíamos refutado prácticamente todos los argumentos falaces de Crespo mucho antes de que él siquiera pensara en publicar su «reto matemágico». Vamos a ello.

Reto 1: Los «-20» traviesos

Comencemos con el reto que Crespo nos lanza en primer lugar. Os dejo el desarrollo que nos propone y después lo comentamos:

\begin{matrix} -20=-20 \\ 25-45=16-36 \\ 5^2-5 \cdot 9=4^2-4 \cdot 9 \\ 5^2-5 \cdot 9 +\left(\cfrac{9}{2} \right)^2=4^2-4 \cdot 9 +\left(\cfrac{9}{2} \right)^2 \\ \left (5-\cfrac{9}{2} \right )^2=\left (4-\cfrac{9}{2} \right )^2 \\ 5-\cfrac{9}{2}=4-\cfrac{9}{2} \\ 5=4 \end{matrix}

1=0

¿Dónde está el fallo? Quizás ésta demostración falsa de que 1=0 sea la que utiliza matemáticas más básicas, pero también estoy seguro de que muchos no encontrarán el error con facilidad. Os dejo una pista: el error tiene que ver con la raíz cuadrada. Espero que os ayude…pero si aun así no llegáis a encontrar cuál es exactamente el paso erróneo, echadle un ojo a 1=2 (y un bonus logarítmico), entrada de este blog de hace bastante tiempo donde explico el asunto con un caso prácticamente igual que éste.

Reto 2: La «a» y la «b» del mal

Vamos con el segundo reto. Éste es, posiblemente, el más conocido de todos. Ahí va:

\begin{matrix} a=b \\ a^2=ab \\ a^2-b^2=ab-b^2 \\ (a+b)(a-b)=b(a-b) \\ a+b=b \\ a+a=a \\ 2a=a \\ 2=1 \end{matrix}

1=0

Aquí es más fácil, ¿verdad? Os dejo un momentito para pensar…

\begin{matrix} \downarrow \\ \downarrow \\ \downarrow \\ \downarrow \\ \downarrow \\ \downarrow \\ \downarrow \\ \downarrow \\ \downarrow \\ \downarrow \end{matrix}

…¿Ya? Seguro que la mayoría lo habéis visto claro: el error está en el paso en el que simplifica (a-b). La razón es la siguiente: como partimos de a=b, se tiene que (a-b)=0, y no podemos dividir entre cero. Por tanto, todo lo que venga después de ese paso incorrecto será también incorrecto.

Por cierto, juraría que esta demostración errónea también la tenía en el blog, pero no la encuentro. Si alguien encuentra el post en el que está escrita que lo comente.

Reto 3: La pícara unidad imaginaria

Vamos con el tercero, que en este caso tiene que ver con los famosos números complejos. Os dejo el desarrollo de Crespo:

\begin{matrix} -1=-1 \\ \\ \cfrac{-1}{1}=\cfrac{1}{-1} \\ \\ \sqrt{\cfrac{-1}{1}}=\sqrt{\cfrac{1}{-1}} \\ \\ \cfrac{\sqrt{-1}}{\sqrt{1}}=\cfrac{\sqrt{1}}{\sqrt{-1}} \\ \\ \cfrac{i}{1}=\cfrac{1}{i} \\ \\ i^2=1 \\ -1=1 \\ 2=0 \end{matrix}

1=0

Curioso, ¿verdad? ¿Alguien encuentra el error? Pista: como era de esperar, el error tiene que ver con las propiedades de la raíz cuadrada en los números complejos.

Vale Gaussianos, eso lo podíamos suponer. Ahora, ¿dónde exactamente?

Pues eso es lo que tenéis que encontrar: ¿qué propiedad de las raíces en los números complejos estamos incumpliendo? Por si alguien no la encuentra, en Los complejos nos dicen que 1=-1 tenéis la clave.

Reto 4: La infernal suma de «x»s

Nos metemos ahora en cosas más «serias». El cuarto reto tiene que ver con funciones y derivadas, y su desarrollo es el siguiente:

\begin{matrix} \begin{matrix} & x \mbox{ veces} \\ x= & \overbrace{1+1+ \ldots +1} \end{matrix} \\ \\ \begin{matrix} & x \mbox{ veces} \\ x^2= x \cdot & (\overbrace{1+1+ \ldots +1}) \end{matrix} \\ \\ \begin{matrix} & x \mbox{ veces} \\ x^2= & \overbrace{x+x+ \ldots +x} \end{matrix} \\ \\ \mbox{Derivamos a ambos lados} \\ \\ \begin{matrix} & x \mbox{ veces} \\ 2x= & \overbrace{1+1+ \ldots +1} \end{matrix} \\ \\ 2x=x \\ 2=1 \end{matrix}

1=0

El error es aquí algo más sutil, ya que no tiene que ver con operaciones aritméticas. ¿Podríais dar una argumento que invalide esta «demostración»? Tanto si es así como si no, podéis ver este mismo ejemplo comentado en la entrada 2=1, que escribí hace nada menos que 14 años.

Reto 5: La integral de la muerte

El quinto reto, muy interesante, está relacionado con integrales. A continuación, el desarrollo de Crespo, que comienza con una integral a la que le aplicaremos el método de integración por partes (cierto que no es el más adecuado, pero se puede utilizar, que es lo importante):

\begin{matrix} \displaystyle{\int \cfrac{1}{x} \, dx}=\left [ \begin{matrix} u=\frac{1}{x} \rightarrow du=-\frac{1}{x^2} \\ dv=dx \rightarrow v =\int dx=x \end{matrix} \right ] = \\ \\ =\cfrac{1}{x} \cdot x - \displaystyle{\int x \cdot \left ( - \cfrac{1}{x^2} \right ) \, dx} \\ \\ \mbox{Operando y simplificando queda:} \\ \\ \displaystyle{\int \cfrac{1}{x} \, dx = 1+\int \cfrac{1}{x} \, dx} \end{matrix}

Y restando la integral a ambos lados

0=1

De nuevo tenemos un razonamiento falaz relacionado con el cálculo que no todo el mundo ve a la primera. Echadle un ojo, analizad todos los pasos y buscad el error. Para quien esté interesado, en Equivocacion por partes analice, allá por 2006, un ejemplo muy parecido.

Reto 6: Los logaritmos traicioneros

Y llegamos al final con un reto sobre logaritmos de números complejos. Ahí va:

\begin{matrix} ln[(-i)^2]=ln[(-i)^2] \\ \\ ln(-1)=ln[(-i)^2] \\ \\ ln(e^{i \pi})=ln[(-i)^2] \\ \\ i \pi=ln[(-i)^2] \\ \\ i \pi=2ln(-i) \\ \\ i \pi=2 ln(e^{-i \frac{\pi}{2}}) \\ \\ i \pi=2 \left (- i \, \cfrac{\pi}{2} \right ) \\ \\ i \pi=-i \pi \\ \\ 1=-1 \\ \\ 2=0 \end{matrix}

En el desarrollo se ha usado la forma exponencial de un número complejo (¿os acordáis de la identidad de Euler?)

Bueno, la cosa es que aquí también llegamos al «temido»

1=0

En este caso, os voy a dejar a vosotros intentar explicar dónde está el error de la demostración. Para los que necesitéis algo con lo que empezar, quizás lo que aparece en la entrada Todos los números reales son iguales a 1 y, sobre todo, en su comentarios os pueda servir de ayuda.

Por cierto, aunque todo lo importante ya lo he escrito aquí, os dejo el vídeo de Crespo, que la verdad es que está muy bien:

Bueno, y yo ahora también voy a dejaros un reto a vosotros (y a Crespo, claro). Ahí va:

Partimos de un triángulo equilátero de lado 1 con uno de los lados en posición horizontal, para que todo se vea mejor. Es evidente que la base mide 1 y que la suma de los otros lados es igual a 2.

Construimos ahora dos triángulos equiláteros de lado 1 \over 2 sobre la base, como se ve en el centro de la imagen siguiente. Ahora, la base sigue midiendo 1 y la suma de los lados «superiores» de los dos triángulos también es 2, como antes.

Seguimos de esa forma, generando la figura que se vea la derecha:

Si continuamos de esa manera, está claro que la poligonal superior «tiende» a la base, por lo que deben medir lo mismo. Por tanto:

2=1

¿Dónde está el error?

Esta entrada participa en la Edición 11.5 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión aloja Mayte J. Romera en su blog Qué vamos a hacer hoy.

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