A estas alturas, seguro que muchos de vosotros estaréis al tanto del reto matemático que lanzó Crespo (mundialmente conocido como Quantum Fracture) en su canal de Youtube. En él, y ataviado de mago, «demuestra» que 1=0 de seis formas distintas, y reta al resto del mundo a encontrar los «trucos» utilizados en cada una de sus «demostraciones» y a publicar un vídeo-respuesta al suyo.
En esta entrada voy a refutar los desarrollos del vídeo de Crespo, indicando en cada caso dónde está la falacia correspondiente. Por desgracia, no he tenido tiempo (ni tampoco medios técnicos suficientes) para hacer un vídeo en condiciones, por lo que he decidido hacerlo por escrito y aprovechar el trabajo que ya tengo hecho. Porque, amigos míos, en Gaussianos ya habíamos refutado prácticamente todos los argumentos falaces de Crespo mucho antes de que él siquiera pensara en publicar su «reto matemágico». Vamos a ello.
Reto 1: Los «-20» traviesos
Comencemos con el reto que Crespo nos lanza en primer lugar. Os dejo el desarrollo que nos propone y después lo comentamos:
¿Dónde está el fallo? Quizás ésta demostración falsa de que sea la que utiliza matemáticas más básicas, pero también estoy seguro de que muchos no encontrarán el error con facilidad. Os dejo una pista: el error tiene que ver con la raíz cuadrada. Espero que os ayude…pero si aun así no llegáis a encontrar cuál es exactamente el paso erróneo, echadle un ojo a 1=2 (y un bonus logarítmico), entrada de este blog de hace bastante tiempo donde explico el asunto con un caso prácticamente igual que éste.
Reto 2: La «a» y la «b» del mal
Vamos con el segundo reto. Éste es, posiblemente, el más conocido de todos. Ahí va:
Aquí es más fácil, ¿verdad? Os dejo un momentito para pensar…
…¿Ya? Seguro que la mayoría lo habéis visto claro: el error está en el paso en el que simplifica . La razón es la siguiente: como partimos de
, se tiene que
, y no podemos dividir entre cero. Por tanto, todo lo que venga después de ese paso incorrecto será también incorrecto.
Por cierto, juraría que esta demostración errónea también la tenía en el blog, pero no la encuentro. Si alguien encuentra el post en el que está escrita que lo comente.
Reto 3: La pícara unidad imaginaria
Vamos con el tercero, que en este caso tiene que ver con los famosos números complejos. Os dejo el desarrollo de Crespo:
Curioso, ¿verdad? ¿Alguien encuentra el error? Pista: como era de esperar, el error tiene que ver con las propiedades de la raíz cuadrada en los números complejos.
Vale Gaussianos, eso lo podíamos suponer. Ahora, ¿dónde exactamente?
Pues eso es lo que tenéis que encontrar: ¿qué propiedad de las raíces en los números complejos estamos incumpliendo? Por si alguien no la encuentra, en Los complejos nos dicen que 1=-1 tenéis la clave.
Reto 4: La infernal suma de «x»s
Nos metemos ahora en cosas más «serias». El cuarto reto tiene que ver con funciones y derivadas, y su desarrollo es el siguiente:
El error es aquí algo más sutil, ya que no tiene que ver con operaciones aritméticas. ¿Podríais dar una argumento que invalide esta «demostración»? Tanto si es así como si no, podéis ver este mismo ejemplo comentado en la entrada 2=1, que escribí hace nada menos que 14 años.
Reto 5: La integral de la muerte
El quinto reto, muy interesante, está relacionado con integrales. A continuación, el desarrollo de Crespo, que comienza con una integral a la que le aplicaremos el método de integración por partes (cierto que no es el más adecuado, pero se puede utilizar, que es lo importante):
De nuevo tenemos un razonamiento falaz relacionado con el cálculo que no todo el mundo ve a la primera. Echadle un ojo, analizad todos los pasos y buscad el error. Para quien esté interesado, en Equivocacion por partes analice, allá por 2006, un ejemplo muy parecido.
Reto 6: Los logaritmos traicioneros
Y llegamos al final con un reto sobre logaritmos de números complejos. Ahí va:
En este caso, os voy a dejar a vosotros intentar explicar dónde está el error de la demostración. Para los que necesitéis algo con lo que empezar, quizás lo que aparece en la entrada Todos los números reales son iguales a 1 y, sobre todo, en su comentarios os pueda servir de ayuda.
Por cierto, aunque todo lo importante ya lo he escrito aquí, os dejo el vídeo de Crespo, que la verdad es que está muy bien:
Bueno, y yo ahora también voy a dejaros un reto a vosotros (y a Crespo, claro). Ahí va:
¿Dónde está el error?
Esta entrada participa en la Edición 11.5 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión aloja Mayte J. Romera en su blog Qué vamos a hacer hoy.
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Hola, Me ha gustado mucho el post. Siempre he creído que uno de los objetivos de enseñar matemáticas es ayudar al alumno a pensar de forma crítica y a no creerse todo lo que le digan de buenas a primeras. Estas seis formas se pueden usar en distintos niveles, desde la ESO a la Universidad, para avanzar en este propósito. Dejo aquí una variante del razonamiento de la integral que no usa partes, sino un cambio de variable Cambio con lo que Deshacemos el cambio: Por lo tanto Simplificando Multiplicando por 2 La explicación es la misma que para la… Lee más »
Muy bueno el ejemploMariano, podría haber servido para el reto de la integral por partes :).
El problema es que te falta la contante de integración, dicha constante puede ser tanto C como C-(1/2).
Por otra parte en cuanto a la derivada hay varios fallos en el razonamiento no sólo uno. Por ejemplo supongamos que una función fuera x+x+x+..+x, x veces (función que por cierto no existe en el campo de los números reales ya que por ejemplo no puedo definir 2,5+2,5+2,5+..+2,5 2,5 veces), pero aún así supongamos que dicha función existe entonces su derivada no es 1+1+1+…+1 x veces porque para que la derivada de la suma sea la suma de las derivadas se tiene que estar sumando siempre la misma cantidad de números, cosa que no pasa aquí ya que cuando x… Lee más »
Para confirmar mi argumento. Sea la función f(x)=x+x+x+…+x parte entera de x (E(x)) veces. Esta función sí existe para todo número positivo, si aplico el argumento del vídeo, su derivada sería E(x). ¿Dónde esta el fallo?
Para quien no conozca la función parte entera explico en un momento la idea de la función para números positivos, ya que para números negativos es un poco más complicada.
Ejemplos si x=2,34, entonces E(x)=2.
Si x=9,3 entonces E(x)=9, etc (o sea me quedo con el número que está delante de la coma si x es positivo)
.
Hola!, en relación al problema planteado no veo esa «tendencia», porque aunque la altura se va haciendo infinitesimal también lo hace la base y son del mismo orden…la verdad es que eso me hace sospechar jeje.. Veo más bien infinitas formas de expresar el número 2. Para que hubiera tendencia debería de ir acercándosela longitud de los lados a la de la base y sin embargo tanto la base como los lados permanecen constantes. 1 —- 2 1 —- 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 = 2 1 —- 1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 +… Lee más »
La cuestión es que, en el límite, la poligonal formada por los segmentos de la parte superior acabaría exactamente encima de la base inferior, siendo 2 la longitud de la poligonal y 1 la de la base. Ahí está la contradicción. ¿Dónde está el error?
En que nunca va a llegar a superponerse de forma perfecta, siempre habrán dientes de sierra que harán que la longitud sume 2. Comportamiento fractal.
Realmente la poligonal superior no “tiende” a la base, sino a 2 veces la base, incluso en el infinito. Una forma de verlo gráficamente es que si seguimos dividiendo “infinitamente” hasta que la base tenga un valor delta infinitesimal, lo que tendríamos es que de cada punto de la linea inferior saldría un pequeño delta “de subida” y otro pequeño delta “de bajada” que se superponen. Por lo que la longitud de la poligonal sigue siendo el doble. Al principio la superposición de los dos catetos en el infinito podria llevar a pensar que es un único cateto, pero siguen… Lee más »
La poligonal SÍ tiende a la base, en este sentido.La base es la función constante f(x) = 0 (con x entre 0 y 1) y llamamos f_n(x) a la función que pinta la polinomial en el paso n. Lo que se tiene es que f_n(x) tiende a 0 cuando n tiende infinito, para cualquier x. Pero eso no quiere decir que la longitud de la curva f_n tienda a la longitud de la curva f. De hecho, la longitud de la curva f_n es siempre 2, y la de f es 1. La paradoja surge de pensar que la longitud… Lee más »
Idea rapida
El limite de 1/x (longitud de los lados) al tender a infinito es 0, de modo que al infinito no hay triangulo, solo el segmento de la base con sus infinitos puntos
Pensandolo un poco mejor, al desaparecer el triangulo en el infinito, tb desaparece la base; sin embargo el espacio q ocupaba ésta sigue siendo 1. De modo q no hay contradiccion, el triangulo desaparece y el espacio que ocupaba la base sigue valiendo 1.
Visto asi, ahora veo este dilema como identico a la paradoja de zenon sobre la carrera entre Aquiles y la Tortuga.
Aqui Zenon en defenderia que 1=2 esta demostrado, pero porque no aplica la nocion de limite
Errata: zenon diria que la poligonal jamas alcanza la base, como aquiles jamas alcanza la tortuga; siempre habra un triangulo de menor tamaño que construir.Por tanto no habria contradiccion a su entender.
Otra idea a raiz de la idea de zenon:
Si consideramos que al infinito los triangulos no desaparecen sino que se vuelven arbitrariamente pequeños. Entonces suponemos que la longitud de los lados mide igual q el numero real immediatamente posterior a 0. A este numero lo llamamos r.
El problema: al infinito tenemos infinitos triangulos de lado r. De modo que: r(1+1+1+1+…)
En tal caso, como r no es 0, este producto da infinito, de modo q la base y los 2 lados pasan a medir lo mismo: infinito. Hecho q parece absurdo
Hola de nuevo, voy a intentar dar una respuesta al último reto. El caso es que no sé si hay alguna explicación más elemental que la que yo voy a dar, que incluye algunos conceptos un poco avanzados como derivadas, sucesiones de funciones, integrales y pasos al límite. Sea y para sean Tenemos que la sucesión de funciones tiende hacia f uniformemente, pero eso no basta para que las longitudes converjan también, porque la fórmula para calcular la longitud de una curva definida por una función depende de una integral que involucra a la derivada. Fijémonos en las derivadas (Como… Lee más »
Claro, al infinito no hay triangulo ni nada
en el infinito tengo infinitos triángulos cuyos lados miden 0 (indeterminación del tipo 0 por infinito)
Buenas a todos.
El reto que propongo al final forma parte de una entrada que el profesor de la UCLM <strong>Ernesto Aranda</strong> escribió en Gaussianos en 2016. Os dejo el enlace:
Utilizando el método de exhaución para «demostrar» que 2=1
Las matematicas de la demostracion me superan. Sin embargo, q mediante este metodo se llegue a la conclusion de q 1<=2 no me parece una demostracion muy convincente. Opinion de aficionado…
De todas formas, a mi q me gusta visualizar las cosas, tengo esta duda: asi, cuando llevamos las particiones al infinito, ¿Qué tenemos? ¿Infinitos mini triangulos? ¿Dos rectas perfectamente superpuestas? ¿Nada? ¿No lo sabemos? Gracias..
Aprovecho el silencio para preguntar: como sabéis que el metodo usado en el link (usar sucesiones de funciones) era el correcto? Gracias
Creo que es un fractal.
¿En qué te basas para afirmar que el límite de las medidas de ina poligonal es la medida de la poligonal límite?
¿Y es que se necesita refutar eso?
Evidentemente, no hay necesidad de refutar eso. Si lees la entrada completa verás el contexto: refutar supuestas demostraciones de que
indicando dónde están los errores que se cometen en las mismas.
El número de triángulos tiende a infinito la longitud de los lados tiende a cero. Estamos ante un caso de indeterminación de límites del tipo 0 por infinito
Hola, Yo te puedo agregar una ecuación adicional a tus postulados de demostraciones… Deseo probar, que ¡Una persona es inteligente!, entonces… Aplico el método científico, planteando el problema ¿Será esa persona inteligente? Determino mis objetivos: Determinar que esa persona es inteligente Establezco mi hipótesis: Esa persona es inteligente Variables: La persona = Variable1, Preguntas de inteligencia = Variable 2 Utilizo una técnica y un instrumento, para probar mi tesis: Técnica la Encuesta, Instrumento El Cuestionario. Aplico el instrumento preguntando a esa persona: ¿Eres inteligente? Ella responde: SI Realizo mis tablas de Frecuencia, encuentro mi medida de tendencia central: Moda. Vertifico… Lee más »