Dentro del «MundoPi» hay un submundo que fascina a todo aficionado a las matemáticas: las aproximaciones relacionadas con el número Pi. Las hay de muchos tipos: simples, complejas, exclusivas del número Pi, relacionadas con otros números «especiales»… Vamos, de todos los colores. Hoy vamos a hablar sobre una de éstas últimas, sobre la cual tuiteé hace poco, y su relación con la fórmula de sumación de Poisson.

El tuit en el que hablaba de esta aproximación es el siguiente:

Por si no se ve entera, aquí la tenéis en una imagen bien hermosa, para que disfrutéis de ella en todo su esplendor:

Como era de esperar, fueron varios los tuiteros que preguntaron sobre su origen, porque la verdad es que la pinta que tiene no induce a pensar que haya aparecido «por casualidad»…

…y, como también era de esperar, no es así, no ha salido de la nada. Vamos a ver una manera de obtenerla a partir de la llamada fórmula de sumación de Poisson.

La fórmula de sumación de Poisson, en su versión más habitual, es la siguiente:

\displaystyle{\sum_{n=-\infty}^{\infty} f(n)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} \widehat{f}(n)}

siendo f una función de decrecimiento rápido (estas funciones forman el que se conoce como espacio de Schwartz S(\mathbb{R})) y \widehat{f} la transformada de Fourier de f:

\widehat{f}(\xi)=\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, e^{-2 \pi i \xi x} \, dx}

Por cierto, una función de decrecimiento rápido es una función infinitamente derivable que cumple que tanto ella como sus derivadas decrecen muy rápido conforme su variable va creciendo (más concretamente, cuando |x| \rightarrow \infty decrecen más rápido que cualquier polinomio).

(Nota: La condición f \in S(\mathbb{R}) se puede relajar. Recomiendo consultar «Variable Real» en las fuentes del final de este artículo tanto para analizar este detalle como para disponer de definiciones más formales, así como para ver una demostración de la fórmula de sumación de Poisson.)

Bien, ya tenemos la fórmula, muy bonita por cierto. Alguno podría decir de ella que básicamente muestra que aunque la función se vista con gorro de seda, función se queda… Pues sí, algo así, pero aquí no estamos para hablar de la estética de las funciones, sino de matemáticas. Y a ello vamos.

Esta fórmula de sumación de Poisson es útil, entre otras cosas, para obtener expresiones interesantes relacionadas con sumas infinitas (como más de uno habrá podido deducir). Basta tomar una función de decrecimiento rápido interesante y ponerse a jugar con ella…

…¿y cuál es la que más conocemos y mejor sabemos manejar? Correcto: la exponencial de base e y exponente negativo. Comencemos tomando f(x)=e^{-2 \pi \alpha |x|}, con \alpha > 0. Calculando la suma de la serie geométrica de la izquierda (¿o son dos?) y la integral de la transformada de la derecha, es trivial (al menos lo es para el 99% de los profesores de análisis matemático) llegar a la siguiente expresión (os lo dejo como ejercicio para los comentarios, y si alguien lo intenta y no le sale que pregunte y le ayudamos):

\cfrac{e^{\pi \alpha}+e^{-\pi \alpha}}{e^{\pi \alpha}-e^{-\pi \alpha}}=\cfrac{\alpha}{\pi} \cdot \displaystyle{\sum_{n=-\infty}^{\infty} \cfrac{1}{n^2+\alpha^2}}

Estoy convencido de que a muchos os ha encantado la expresión que nos ha quedado, pero seguro que algunos de vosotros pensáis que hemos llegado a algo sin mucho interés y de lo que no podemos sacar nada en claro, ¿verdad? Pues os voy a convencer enseguida de lo contrario.

Como la expresión que queda dentro del sumatorio es par en n, se tiene que

\displaystyle{\sum_{n=-\infty}^{\infty} \cfrac{1}{n^2+\alpha^2}=2 \cdot \sum_{n=1}^{\infty} \cfrac{1}{n^2+\alpha^2}}+\cfrac{1}{\alpha^2}

Sustituyendo esto es la expresión obtenida y pasando la fracción y el término suelto al otro miembro, tenemos lo siguiente:

\displaystyle{2 \cdot \sum_{n=1}^{\infty} \cfrac{1}{n^2+\alpha^2}}=\cfrac{\pi}{\alpha} \cdot \cfrac{e^{\pi \alpha}+e^{-\pi \alpha}}{e^{\pi \alpha}-e^{-\pi \alpha}}-\cfrac{1}{\alpha^2}

Tomando límites cuando \alpha \rightarrow 0 a ambos lados llega la magia. En el lado izquierdo obtenemos, claramente \displaystyle{2 \cdot \sum_{n=1}^{\infty} \cfrac{1}{n^2}}, y en el lado derecho se obtiene \cfrac{\pi^2}{3} (os lo dejo como ejercicio, como antes). Y uniendo todo:

\displaystyle{2 \cdot \sum_{n=1}^{\infty} \cfrac{1}{n^2} = \cfrac{\pi^2}{3} \Rightarrow \mathbf{\sum_{n=1}^{\infty} \cfrac{1}{n^2} = \cfrac{\pi^2}{6}}}

¡¡Toma demostración del problema de Basilea (y II)!! No me digáis que no es maravilloso.

Y vamos ya con lo que nos ocupaba en este artículo. ¿De dónde sale la aproximación de \pi a la que hacíamos mención al principio? Pues sí, de nuevo de usar la fórmula de sumación de Poisson. Tomando

f(x)=e^{-2 \pi \alpha x^2}

se puede llegar, utilizando la fórmula de sumación de Poisson, a la siguiente expresión:

\displaystyle{\sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{-2 \pi \alpha n^2}=\cfrac{1}{\sqrt{2 \alpha}} \cdot \sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{\frac{-\pi n^2}{2 \alpha}}}

(Nota: En el segundo enlace de las fuentes tenéis una demostración detallada de este hecho ¡¡que usa EDOs!! Os invito a que, antes de mirarla, la intentéis vosotros.)

Tomando ahora

\alpha = \cfrac{1}{8 \pi}

obtenemos lo siguiente:

\displaystyle{\sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{\frac{-n^2}{4}}=2 \sqrt{\pi} \cdot \sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{-4 \pi^2 n^2}}

Para n \ne 0, los términos de la suma de la derecha son pequeñísimos (minúsculos, en palabras de Fernando Chamizo), por lo que el valor de e^{-4n^2} en n=0 (que es 1) es una buena aproximación de la propia suma. Usando esta aproximación, quedándonos con una parte «adecuada» de la suma de la izquierda y despejando \pi:

\displaystyle{\sum_{n=-15}^{15} e^{\frac{-n^2}{4}} \approx 2 \sqrt{\pi} \cdot 1\Rightarrow \mathbf{\cfrac{1}{4} \left (\sum_{n=-15}^{15} e^{\frac{-n^2}{4}} \right )^2 \approx \pi}}

donde la elección del valor 15 no es casual. (¿Por qué? Pista: tiene que ver con lo de los términos minúsculos y la parte «adecuada».)

Como comentario final sobre este tema, es interesante destacar que, en cierto sentido, esta aproximación también está relacionada con la campana de Gauss (y II). Os dejo a vosotros que nos la mostréis en los comentarios.

Tengo que reconocer que hasta hace bien poco no tenía conocimiento de la existencia de esta fórmula de sumación de Poisson, y la verdad es que me ha cautivado todo lo que tiene que ver con ella, que es mucho más que lo que he mostrado en este artículo: está relacionada con los cuasicristales, con la función zeta de Riemann en varios sentidos, con los empaquetamientos de esferas… En definitiva, una expresión bella y una herramienta muy útil sobre la cual podéis profundizar en los enlaces que os dejo a continuación. Espero que os haya gustado tanto como a mí.

Fuentes y más información:

Por cierto, os dejo otra que publiqué esta mañana que, al menos para mí, es bastante más «casual»:

Aunque viéndola ahora de una manera algo más crítica, igual también sale de la sumación de Poisson, vaya usted a saber… ¿Alguna idea?

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