Aunque el 14 de marzo es, desde 2019, el Día Internacional de las Matemáticas, para mí siempre será el Día de Pi. Sí, siento una fascinación enorme por este número irracional y, sobre todo, por sus múltiples apariciones inesperadas en cualquier situación matemática.
Por ello, hoy, 14 de marzo de 2026, quiero dejar cinco de las cuestiones sobre el número Pi que más me han sorprendido a lo largo de todos los años que llevo dedicándome a la divulgación de las matemáticas (más de 20).
- El número \( \pi \) y la probabilidad de escoger dos números coprimos
Se dice que dos enteros positivos mayores o iguales que 2 son coprimos si no tienen factores en común (salvo el 1, evidentemente). Por ejemplo, 12 y 33 no son coprimos (ya que el 3 es un factor de ambos), pero 18 y 35 sí lo son.
Imaginemos que escogemos al azar dos de estos enteros positivos mayores o iguales que 2 y queremos calcular la probabilidad de que sean coprimos. ¿Cuánto diríais que sale? Pues, agárrate a la silla, dicha probabilidad es la siguiente:
\[ P(\text{Escoger dos números coprimos})=\frac{6}{\pi^2} \]
Ni en mil vidas habría imaginado que esta probabilidad está relacionada con el número \( \pi \). ¿Y vosotros?
En Probabilidad de escoger dos números coprimos (que publiqué ¡¡en 2007!!), os dejé una demostración de este hecho que, por cierto, está emparentado con el problema de Basilea.
- El número \( \pi \) y el conjunto de Mandelbrot
El conjunto de Mandelbrot es uno de los fractales más conocidos de la historia. Aquí lo tenéis:
Básicamente, podemos definir este conjunto, al que suele llamarse \( \mathcal{M} \), como los números complejos \( c \) para los cuales el siguiente método iterativo es no divergente (esto es, genera una sucesión acotada):
\[ \begin{array}{l} z_0=0 \\ z_{n+1}=z_n^2+c \end{array} \]Números complejos, expresiones cuadradas, un método iterativo…¿alguien esperaría encontrarse por aquí a \( \pi \)? Pues sí, está. En ciertos puntos característicos de este fractal (concretamente, en algunos puntos de unión entre sus partes y en el de la «hendidura» que hay en la parte derecha), ocurre que, cuanto más nos acercamos a ellos desde la parte exterior de \( \mathcal{M} \), el número de iteraciones del método necesarias para confirmar que nos quedamos fuera del propio \( \mathcal{M} \) se acerca de una curiosa manera al número \( \pi \). En concreto, ciertos límites que involucran puntos cercanos a esos puntos característicos y número de iteraciones dan como resultado exactamente \( \pi \).
En Pi y el conjunto de Mandelbrot os dejé mucha más información sobre esta curiosísima relación. Os sugiero su lectura, así como la de los enlaces que incluí en aquella entrada. También tenéis más información sobre el propio conjunto de Mandelbrot y una forma alternativa de definirlo en ¿Qué es el conjunto de Mandelbrot? Historia y construcción.
- El número \( \pi \), Ramanujan y el enigmático 1103
Hablando de cosas sorprendentes del número \( \pi \), era raro que Ramanujan no apareciera en la conversación. Hace un par de años, os enseñaba esta aproximación de \( \pi \) que nos dejó el genio indio:
\[ \pi \approx \frac{9801}{1103 \, \sqrt{8}} \]Y también os comentaba que dicha aproximación provenía de una expresión más compleja, encontrada también por Ramanujan. Dicha expresión es la siguiente:
\[ \frac{1}{\pi}=\frac{2 \, \sqrt{2}}{9801} \, \displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(4n)! \, (1103+26390n)}{(n!)^4 \, 396^{4n}}} \]Según parece, el propio Ramanujan explica con detalle todos los elementos que aparecen en esta expresión…salvo el 1103. ¿Por qué ese número exactamente y no otro? ¿De dónde lo sacó Ramanujan? Hasta donde yo sé, solamente hay teorías al respecto, pero no se sabe a ciencia cierta cómo lo obtuvo. En Ramanujan y una «inexplicable» aproximación de Pi tenéis más información al respecto junto con el enlace a un artículo de Jesús Guillera cuya lectura os recomiendo encarecidamente.
- El número \( \pi \) y su relación con un límite muy «inocente»
A mediados de 2020, dejaba como problema a mis seguidores de Twitter el cálculo del siguiente límite:
\[ \lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n^2 \, \sin (n)} \]
Si no lo conocías, te invito a que intentes calcularlo antes de seguir leyendo.
En las respuestas, hubo gente que dio un resultado concreto y gente que no tenía claro que el límite existiera, pero nadie consiguió dar con un razonamiento totalmente correcto que resolviera el ejercicio.
¿Pero qué ocurre exactamente con este límite? ¿Existe? En ese caso, ¿cuál es su valor? Pues la cosa es que no se sabe si existe o no existe. Sí, amigos, a día de hoy no se conoce qué ocurre con este límite, «simplemente» se sabe que, si existe, valdrá cero.
Este ya le da cierto interés al asunto, pero dicho interés aumenta enormemente (al menos, para mí) cuando se sabe que la existencia de este límite está íntimamente ligada a lo que se conoce como medida irracional de \( \pi \), que es algo así como la capacidad que tenemos de aproximar el valor de \( \pi \) mediante números racionales. Sin entrar en detalles, que este límite exista depende de si el número \( \pi \) es lo que se conoce como 3-aproximable, cuestión que en la actualidad es todavía desconocida. En Un límite «inocente» y una cuestión poco conocida (y sin demostrar) del número Pi, Gonzalo Cao nos habló de este problema con bastante detalle.
- El desarrollo más bello del número \( \pi \) como suma infinita
Y termino con el que, posiblemente, sea el desarrollo infinito (ya sea en suma o en producto) más sorprendente, más increíble, más bello en definitiva, del cual he tenido conocimiento en toda mi vida. Cómo no, involucra al número \( \pi \) y, cómo no, se lo debemos al grandísimo Leonhard Euler.
Comencemos con la conocidísima serie armónica:
\[ 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+ \dots \]Sabemos que dicha suma es divergente (esto es, tiene límite infinito). Vamos a hacer algunas modificaciones en el signo de algunos términos:
- Si el denominador es un número primo de la forma \( 4m-1 \) (por ejemplo, el \( 7=4 \cdot 2-1 \)), le dejamos el signo «más». También dejamos un «mas» en los dos primeros términos, el \( 1 \) y el \( \frac{1}{2} \).
- Si el denominador es un número primo de la forma \( 4m+1 \) (por ejemplo, el \( 5=4 \cdot 1+1 \)), cambiamos el signo a «menos».
- Si el denominador es un número compuesto, lo descomponemos en factores primos, vemos qué signo tiene cada factor según las dos reglas anteriores y multiplicamos dichos signos, dejando el que obtengamos de este modo. Por ejemplo, como \( 52=2 \cdot 2 \cdot 13\) y se cumple que la fracción del 2 lleva un «más» y la del 13 lleva un «menos» (porque \( 13=4 \cdot 3+1\)), la fracción de denominador 52 tendrá como signo
\[ + \cdot + \cdot -=- \].
Con estas modificaciones de signos, se cumple que la correspondiente serie tiene como límite exactamente el número \( \pi \):
\[ \pi=1+\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{3}+\cfrac{1}{4}-\cfrac{1}{5}+\cfrac{1}{6}+\cfrac{1}{7}+\cfrac{1}{8}+\cfrac{1}{9}-\cfrac{1}{10}+\cfrac{1}{11}+\cfrac{1}{12}-\cfrac{1}{13}+ \ldots \]
Hace ya unos cuantos años que conozco este hecho, pero cada vez que lo veo o lo recuerdo me sigue fascinando como el primer día. En El desarrollo más bello de Pi como suma infinita os dejé las líneas generales de la demostración de esta auténtica maravilla de resultado.
Espero que os haya gustado la recopilación que he hecho tanto como a mí. Y os invito a que dejéis en los comentarios las apariciones de \( \pi \) que os parezca más destacables, llamativas y/o sorprendentes. Seguro que sale alguna de ésas que te dejan con la boca abierta.
Un comentario final: antes de comenzar con Gaussianos, sabía muchas cosas sobre el número Pi, pero se da la circunstancia de no conocía ninguna de las cinco de las que os hablo en este artículo. Esto es, por tanto, una pequeñísima parte de lo mucho que he aprendido profundizando en temas conocidos y buscando temas nuevos para escribir artículos en Gaussianos. Todo ello, junto con el cariño que vosotros, lectores, me habéis mostrado siempre, es lo mejor que me llevo de todo este tiempo escribiendo. Muchas gracias.
La imagen del conjunto de Mandelbrot proviene de Wikipedia. La imagen principal ha sido creada con Gemini.
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