A estas alturas, decir que los resultados que descubrió Ramanujan son, cuando menos, sorprendentes es poco novedoso, pero es la pura realidad. Prácticamente todo lo que está asociado a Ramanujan tiene un halo de sorpresa, misterio y brillantez que no tiene parangón dentro de las matemáticas.

Hoy, 14 de marzo de 2024, es el Día Internacional de las Matemáticas, pero para mí, por siempre, seguirá siendo lo que era antes: el Día de Pi. Y, para honrar como se merece a esta preciosidad de número (ya sabéis que en este blog gusta mucho, tanto que hasta tiene categoría propia), vamos a hablar un poco de una «inexplicable» aproximación de Pi que debemos al genio indio Srinivasa Ramanujan.

Al parecer, Ramanujan decía que sus fórmulas y teoremas le eran dictados en sueños por la diosa Namagiri. Si lo pensaba realmente o no es desconocido para mí, pero que muchos de sus descubrimientos tienen cierto tinte «divino» es innegable.

Ése es el caso de la expresión que nos ocupa hoy. Atentos a la aproximación de Pi que nos dejó el «amigo» Ramanujan:

\pi \approx \cfrac{9801}{1103 \, \sqrt{8}}

El valor de ese número es, aproximadamente, 3,14159273. Teniendo en cuenta que \pi es, aproximadamente, 3,14159265, tenemos que la «inexplicable» aproximación de Ramanujan nos da seis cifras decimales exactas. Vamos, una pasada de aproximación.

Pero la cosa no queda ahí. Esta aproximación viene de una expresión mayor, de una serie infinita descubierta también por Ramanujan cuyo valor (esto es, su límite) es \frac{1}{\pi}. En concreto, ésta:

\cfrac{1}{\pi}=\cfrac{2 \, \sqrt{2}}{9801} \, \displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} \cfrac{(4n)! \, (1103+26390n)}{(n!)^4 \, 396^{4n}}}

Este resultado, junto con unos cuantos más, los aportó en su trabajo Modular equations and approximations to \pi (primer artículo que escribe estando ya en Inglaterra y que consigue que le publiquen). Quien me siga en Twitter, puede que recuerde que ya hablé de ella en un hilo dedicado a Ramanujan hace unos años:

Ramanujan da demostraciones rigurosas del porqué de todos esos valores…salvo de uno: de todo lo que podéis ver en esa serie, parece que lo más enigmático (en cierto modo, «inexplicable») es de dónde sale ese 1103. Hasta donde yo sé, no se sabe con seguridad cómo llegó el genio indio a ese valor: puede que lo intuyera, puede que usara alguna buena aproximación anterior de \pi y que, a partir de ella, lo calculara… En Las series para 1 \over \pi de S. Ramanujan, Jesús Guillera (autor del artículo) nos habla sobre este tema y nos cuenta algunas de esas teorías, con fuentes incluidas. Por cierto, muy recomendable este artículo de Guillera al completo, no os lo perdáis.

Por si alguien se lo pregunta, la serie de Ramanujan de la cual sale la aproximación de la que hablamos hoy tiene una convergencia bastante rápida, ya que da 8 decimales exactos de \pi por cada término que añadimos. Es algo magnífico, pero hay series mejores. El mejor ejemplo de éstas que conozco es el denominado algoritmo de Chudnovsky, creado por los hermanos Chudnovsky (del cual ya hablamos en El algoritmo de Chudnovsky, o cómo se calculan los decimales de pi en el siglo XXI). Con esta serie, obtenemos nada menos que 14 decimales exactos con cada nuevo término. Vamos, una barbaridad.


Para finalizar, os dejo unos cuantos enlaces a otros artículos del blog relacionados con el número Pi que creo que os pueden interesar:


La imagen principal del artículo, al igual que en algunos de los últimos artículos publicados en el blog, ha sido creada utilizando la IA de generación de imágenes de Bing y, después, «ensanchada» hacia los laterales con Uncrop.

Print Friendly, PDF & Email
5 2 votes
Article Rating

¿Te ha gustado la entrada? Puedes invitarme a un café, Gauss te lo agradecerá 😉


Comparte: