Confirmado el descubrimiento del primo de Mersenne número 51

Si el mundo de los números primos comenzaba el año de enhorabuena con el descubrimiento del primo de Mersenne número 50, va a acabar el año de la mejor manera posible: con el descubrimiento del primo de Mersenne número 51.

Este número primo, cuyo nombre será M_{82589933}, es:

La criaturita tiene nada menos que 24862048 dígitos, y lo podéis ver entero en el archivo que viene comprimido en este .zip (cuidado, son 11 MB). Fue, como no podía ser de otra manera, el grupo GIMPS quien anunció este descubrimiento el pasado 21 de diciembre. El descubridor, y ganador de 3000$ por ello, es Patrick Laroche. Si queréis más detalles sobre este descubrimiento, podéis echarle un ojo a la nota de prensa oficial de GIMPS.

Como decíamos, 2^{82589933}-1 tiene la nada despreciable cifra de 24862048 dígitos, batiendo así el récord anterior por más de millón y medio de dígitos. Como suelo hacer habitualmente, os dejo un par de datos para que intentéis haceros una ligera idea de la magnitud de este monstruo:

  • Imaginad que tenéis un millón de euros. Mucho dinero, ¿verdad? Bien, pues el número 1000000 tiene 7 dígitos…
  • Imaginad que escribís tremendamente rápido, digamos 3 dígitos por segundo. Buena velocidad, ¿verdad? Bien, pues con esa frecuencia de escritura, y sin parar en ningún momento, tardaríais 96 días en escribirlo entero…

Aquí tenéis la lista completa de los primos de Mersenne. Es interesante comentar que, hasta hoy, se ha confirmado esa lista hasta el primo de Mersenne número 46. Esto quiere decir que hasta dicho número se sabe que no hay más primos de Mersenne entre los que conocemos. Para el resto, de 47 al 51, podría pasar que haya algún otro primo de Mersenne entre dos de ellos que todavía no se haya descubierto. Estaremos pendientes por si hay más novedades.

Os dejo enlaces de algunos artículos de Gaussianos relacionados con los primos de Mersenne:


Marin MersenneEs interesante recordar que los números de Mersenne son números de la forma M_n=2^n-1 y su nombre se debe a Marin Mersenne. Con este nuevo descubrimiento, se sabe que 51 de ellos son primos, habiendo sido descubiertos los más grandes por el citado grupo GIMPS.

De estos números de Mersenne sabemos que para que sean primos necesariamente el exponente n debe ser también un número primo, aunque no siempre que tomemos como exponente un número primo obtendremos un primo de Mersenne (por ejemplo, 2^{11}-1=2047=23 \cdot 89).

También se sabe que cada primo de Mersenne tiene asociado un número perfecto, es decir, un número que es igual a la suma de sus divisores (exceptuando al propio número):

Si 2^n-1 es un primo de Mersenne, entonces el número 2^{n-1} \cdot (2^n-1) es un número perfecto.

Por ejemplo, para n=3 tenemos que como 2^3-1=7 es primo el número 2^{3-1} \cdot (2^3-1)=28 es un número perfecto. Y efectivamente lo es:

1+2+4+7+14=28

Por tanto, en este caso tenemos que el número

2^{82589933-1} \cdot (2^{82589933}-1)

es un número perfecto. Si alguien tiene tiempo, que calcule sus divisores y los sume (si contarlo a él), y que después compruebe que el resultado es el propio número, que, por cierto, tiene cerca de 50 millones de dígitos

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

1 comentario

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