Suma del 0 al 9 y consigue 1000

Publicado por ^DiAmOnD^ el 31 de mayo de 2007 en Juegos | 52 comentarios

Me envía zaidmaths un mail con un problema que le han propuesto. Os lo dejo aquí para que penséis un poco, como soléis hacer:

Utilizando los dígitos del 0 al 9, sin repetir, construir números positivos tal que su suma sea igual a 1000

A ver quién lo resuelve antes.

Una nueva solución al problema de Sierpinski, un nuevo número primo

Publicado por ^DiAmOnD^ el 30 de mayo de 2007 en Noticias, Números primos | 4 comentarios

En Matemáticas, un número de Sierpinski es un número natural impar k tal que los enteros de la forma k2ⁿ+1 son compuestos, es decir, no son números primos, para todo n número natural.

En 1960 el propio Waclaw Sierpinski demostró que existen infinitos números naturales impares que al ser usados como k producen siempre números compuestos.

Si tomamos todos los números de Sierpinski obtenemos un subconjunto del conjunto de los números naturales. Sabiendo que cualquier subconjunto de números naturales tiene mínimo (parece intuitivo, pero habría que demostrarlo), la pregunta está clara: ¿cuál es el mínimo número de Sierpinski? Es decir, ¿cuál es el número natural impar más pequeño para el cual k·2ⁿ+1 es compuesto cualquiera que sea el valor de n?

En 1962, John Selfridge demostró que el número 78557 es un número de Sierpinski. Y de paso nos dejó una conjetura, llamada (no podía ser de otra forma) conjetura de Selfridge, que no es más que: el número 78557 es el mínimo número de Sierpinski.

¿Que habría que hacer para demostrar esta conjetura? Pues muy sencillo. Habría que tomar todos los números impares hasta el 78557 y comprobar que para todos ellos existe al menos un número natural n para el cual k·2ⁿ+1 es primo. Hasta este mismo año 2007 sólo quedaban 7 candidatos menores que 78557 por eliminar. Y a eso mismo se está dedicando el proyecto Seventeen or Bust. Hace unos días (según su propia web el 6 de mayo de 2007) consiguieron comprobar que el número 19249 no es un número de Sierpinski. Por tanto, como hemos comentado antes, existe al menos un número natural n para el cual 19249·2ⁿ+1 es primo. Y eso es lo más interesante del asunto. Han encontrado que el siguiente número es primo:

19249·2^13018586+1

Este gigantesco número posee exactemente 3918990 cifras lo que le convierte en el número primo más grande que se conoce exceptuando los primos de Mersenne (aquí hablamos de la confirmación del descubrimiento del 44º de ellos). Por tanto se trata de un gran descubrimiento.

Por si os interesa intentarlo por vuestra cuenta (no sé si habrá alguien con suficiente valor) os dejo los números que quedan por verificar:

10223, 21181, 22699, 24737, 33661, 55459, 67607

Suerte.

Fuentes:

• MathPuzzle
• Sierpinski number en la Wikipedia (en inglés)

Mazda Pi

Publicado por ^DiAmOnD^ el 28 de mayo de 2007 en Humor matemático, Pi | 17 comentarios

Comenzamos la semana con una imagen curiosa. El amor por las Matemáticas puede provocar situaciones muy curiosas. En este caso el protagonista es el número Pi y el lugar donde lo vemos es la parte trasera de un Mazda 3. El propietario decidió añadir al lado del 3 un punto y los 27 primeros decimales del número Pi. La cosa quedó así:

Cuanto menos curioso.

Visto en Webmaniacos.

Y ya lanzo una pregunta: ¿conocéis otros casos parecidos a éste? Es decir, ¿sabéis de algún sitio o lugar en el que se haya inscrito de alguna manera un número o una fórmula? Espero vuestras respuestas.

¿Cómo hacen el amor los matemáticos?

Publicado por ^DiAmOnD^ el 25 de mayo de 2007 en Humor matemático | 26 comentarios

Pues…depende de la rama a la que pertenezcan:

Los de Análisis Real lo hacen continuamente y diferencian bastante.
Los de Análisis Complejo lo hacen enteramente y quedan conformes.
Los de Topología Conjuntista lo hacen abiertamente pero con tacto.
Los de Combinatoria lo hacen discretamente.
Los Estadísticos lo hacen aleatoriamente.
Los Lógicos lo hacen de modo consistente.
Los de Topología Diferencial lo hacen muuuuy suavemente.
Los de Geometría Diferencial lo hacen con mucha variedad.
Los de Análisis Numérico lo hacen con precisión arbitraria.
Los de Teoría de la Medida lo hacen casi por doquier.
Los de Teoría de Números no lo hacen y son primos.
Los de Teoría de Grupos lo hacen simplemente.
Los de Recursión no se deciden.
Los Constructivistas lo hacen directamente.
Los de Matemática Aplicada usan un ordenador para que lo haga por ellos.
Los Algebristas, categóricamente lo hacen.
Los de Álgebra Lineal lo hacen sin discriminar.
Los de Investigación Operativa maximizan las entradas y minimizan las salidas.
Pitágoras lo hizo primero.
Fermat lo hizo, pero no pudo probarlo.

Gauss lo hizo mejor que nadie

Vía email.

La paradoja de Banach-Tarski

Publicado por ^DiAmOnD^ el 23 de mayo de 2007 en Geometría, Matemáticas, Teoremas | 32 comentarios

Vamos primero con un enunciado de la paradoja:

Si tomamos la esfera S² (es decir, una esfera en el espacio) de radio 1 maciza es posible dividirla en 8 partes tal que aplicando movimientos rígidos oportunos a 5 de ellas por un lado y las otras 3 por otro podemos construir dos esferas de radio 1 iguales a la de partida:

De hecho el número de piezas puede reducirse hasta 5 y se puede demostrar que con 4 es imposible.

Uno lee esto y lo primero que piensa es que le están engañando. Que en la demostración de este hecho hay alguna falacia, que mediante algún razonamiento matemático erróneo pero oculto conseguimos demostrar algo totalmente imposible. Nada más lejos de la realidad. Este hecho tiene una demostración totalmente rigurosa y sin ningún error ni engaño matemático. Por esta razón el apelativo de paradoja no es adecuado matemáticamente hablando, aunque sí lo es si atendemos a nuestra intuición.

Por un lado, si conseguimos asumir como cierto el resultado podemos pensar en realizarlo. Es decir, en tomar una esfera material de radio 1 y dividirla en las partes correspondientes para a partir de ellas formar las otras dos esferas. Quitémonos esa idea de la cabeza. No se puede hacer en el mondo real, ya que una de las piezas está formada sólo por un punto y físicamente hablando el concepto geométrico de punto no es real.

Por otro lado uno podría decir: no puede ser, el volumen final dobla al inicial. Vamos, que en el caso de que las esferas sean materiales nos estaríamos saltando a la torera el principio de conservación de la materia. Acabamos de decir que el resultado no se puede comprobar en la realidad, pero de todas formas el tema del volumen matemáticamente hablando parece que sigue siendo un problema ya que los movimientos rígidos deben conservar el volumen. Para darse cuenta de que tal problema no existe tenemos que recurrir a la teoría de medida. Digamos que esta teoría es la que se encarga de asociar una medida a cada conjunto, en este caso el volumen. La cuestión en este caso es que las partes en las que dividimos la esfera son conjuntos no-medibles (que también los hay). No es que tengan medida 0, sino que no se pueden medir. Es decir, no se les puede asociar una medida y por tanto no podemos apelar a la conservación de la medida por movimientos rígidos. Intuitivamente es complicado de entender pero matemáticamente es totalmente cierto. La existencia de estos conjuntos no-medibles se prueba utilizando el famoso y controvertido históricamente axioma de elección.

La demostración del resultado está basada en las propiedades de los giros del espacio y utiliza varios resultados, entre ellos uno de Hausdorff relativo a los giros y el axioma de elección comentado anteriormente. Es bastante engorrosa para el lector poco iniciado y me atrevería a decir que hasta para el iniciado. Pero lo bueno que tiene es que es constructiva, es decir, no nos demuestra que el resultado es cierto mediante razonamientos que nada tienen que ver con el mismo sino que nos dice exactamente cómo tenemos que dividir la esfera. Algo es algo.

Otra conclusión que podemos sacar a partir de este resultado es la siguiente:

Podemos tomar una esfera maciza del tamaño de la Tierra, dividirla en un cierto número finito de partes y después de aplicarle movimientos rígidos oportunos a las mismas formar una esfera maciza del tamaño del Sol

Increible pero cierto, aunque sólo sea matemáticamente hablando.
Fuentes:

• La paradoja de Banach-Tarski por Carlos Ivorra
• La paradoja de Banach-Tarski en Tío Petros