El número 11 me parece divertido

Posted By fran on 31 de agosto de 2006 in Curiosidades, Números enteros | 8 comments

Este post más que ser sobre las maravillosas propiedades matemáticas que pueda tener el número 11, que no sé si tiene, es una opinión propia de un número, del que me he dado cuenta, tiene cosas curiosas con las operaciones de la multiplicación y la división. (Por ello este post puede que esté equivocado en algunos aspectos o no llegue a estar demostrado todo lo que diga)

Advertidos todos, voy a pasar a daros unas nociones de lo que me ha llamado la atención de este número:

• Producto: Cualquier número de tres cifras (no sé si puede extrapolarse a más cifras) que tenga la siguiente forma: CIFRA1 CIFRA2 CIFRA3, siendo CIFRA2 = CIFRA1 + CIFRA3 es múltiplo de 11, pero si CIFRA1 + CIFRA3 > 10, es múltiplo siempre que CIFRA2 = CIFRA1 + CIFRA3 – 11 Así podemos saber rápidamente cuando un número de tres cifras es múltiplo de 11, y es curioso que cuando pasa de 10 la suma de las cifras uno y tres tengas que restarle 11.
• División: Cualquier número distinto de un múltiplo de 11 que sea dividido por 11, obtendrá como resultado un número decimal periódico cuyo período será uno de estos diez:
  • 1 dividido entre 11 = 0,090909091
  • 2 dividido entre 11 = 0,181818182
  • 3 dividido entre 11 = 0,272727273
  • 4 dividido entre 11 = 0,363636364
  • 5 dividido entre 11 = 0,454545455
  • 6 dividido entre 11 = 0,545454545
  • 7 dividido entre 11 = 0,636363636
  • 8 dividido entre 11 = 0,727272727
  • 9 dividido entre 11 = 0,818181818
  • 10 dividido entre 11 = 0,909090909

  Es trivial ver que para números que sean sumas de 11 + {cualquier número del 1 al 10}, dichos números al dividirlos por 11 tendrán de período el mismo que el del número sumado al 11 y de parte entera el número de sumas realizadas.
  Pero lo que más me ha sorprendido son los períodos que hay, ya que se puede observar que están compuestos de dos cifras y que para el 1 son 09 y para los siguientes la primera cifra aumenta y la segunda disminuye en uno, siguiendo una sucesión matemática sencilla de ver.

La verdad no sé si este post os parecerá una soberana chorrada porque esto mismo pueda ocurrir con cualquier otro número, pero al verlo en mi calculadora hoy me ha hecho bastante gracia, sobre todo porque cuando estás estudiando cualquier cosa parece divertida, y he querido compartirla con vosotros.

Explicación del teorema de Poincaré-Perelman

Posted By ^DiAmOnD^ on 31 de agosto de 2006 in Noticias, Teoremas | 32 comments

En el mundillo matemático se ha hablado mucho sobre la conjetura de Poincaré desde que Grigori Perelman publicara sus trabajos sobre la demostración de la misma en el arXiv. Y en los últimos tiempos la noticia sobre la validez de la demostración y la concesión (y posterior rechazo) de la medalla Fields por parte de Perelman ha circulado por todos los medios de comunicación (prensa, televisión, internet…).Nosotros mismos hablábamos de la concesión de la medalla Fields en este post y del rechazo del premio en este otro. Pero a pesar de toda esta información y de la relevancia que ha adquirido este tema en todos los ámbitos lo que he echado en falta es una explicación más o menos clara sobre qué es lo que dice este (ya) teorema que pueda ser comprensible para la gente que no esté muy en contacto con las Matemáticas a un cierto nivel. En casi todos los sitios donde he visto reseñas sobre la noticia se limitan a comentar el enunciado del resultado propuesto por Poincaré sin preocuparse de explicarlo. Y eso es lo que voy a intentar hacer ahora.

Para comenzar vamos a dar un enunciado más o menos formal del resultado propuesto por Poincaré:

Toda 3-variedad compacta y simplemente conexa es homeomorfa a S³

Este enunciado se generalizó más adelante a dimensión n:

Toda n-variedad compacta y simplemente conexa es homeomorfa a Sⁿ

Los casos n = 1 y n = 2 son sencillos de comprobar. Los casos n > 3 también estaban demostrados (si no me equivoco e demostró de una sola vez para n > 6 y de forma independiente para n = 4, n = 5 y n = 6). Sólo faltaba el caso n = 3, que parecía resistirse.

Una persona que no esté muy familiarizada con la Topología lee este enunciado y se queda igual que estaba (o mucho peor al darse cuenta de que no entiende nada de lo que dice el enunciado). Lo que voy a intentar es explicarlo lo más claramente posible:

• Variedad: Es una generalización de curva y superficie a espacios de mayor dimensión. Una curva en el plano R² (recta, parábola…) es una 1- variedad, una superficie en R³ (esfera, cilindro…) es una 2-variedad, y así sucesivamente. Por tanto, una 3-variedad es una objeto matemático de R⁴ (sí, un espacio de 4 dimensiones). Un apunte: en todos los casos se toman los bordes de la figura. Por ejemplo, cuando hablemos de la esfera estaremos considerando la superficie exterior, es decir, la parte interior no cuenta. No es una esfera maciza, es simplemente la parte externa.
• Compacto: Cerrado y acotado. Las definiciones matemáticas de estos dos conceptos no nos hacen falta, nos podemos quedar con las definiciones intuitivas que todo el mundo tiene.
• Simplemente conexo: Para el caso que nos ocupa nos podemos quedar con que esto significa que la variedad en cuestión no tiene agujeros. Un ejemplo para entender mejor esto: la 2-variedad S² (la esfera tal y como todos la conocemos) es simplemente conexa, pero la 2-variedad T (un toro) no lo es, ya que tiene un agujero en medio.
• Homeomorfo: La definición de homeomorfismo necesita de ciertos conocimientos matemáticos que mucha gente no tiene y que además no son importantes para el objetivo que perseguimos. Básicamente se dice que dos n-variedades son homeomorfas si son topológicamente iguales, es decir, si al estudiar ciertas propiedades en cada una de ellas resultan coincidir. Geométricamente podríamos decir que deformando una sin romperla podemos llegar a la otra. Por ejemplo, una circunferencia y una elipse (1-variedades) son homeomorfas, ya que puedo deformar cada una de ellas (sin romperlas) y transformarlas en la otra.

Y ahora vamos a intentar explicarlo geométricamente. El resultado quiere decir más o menos algo así (lo haremos con 2-variedades, es decir, figuras en 3 dimensiones, ya que éstas sí las podemos ver con facilidad):

Tenemos una esfera:

Supongamos que cogemos una cuerda, rodeamos la esfera con ella (por ejemplo por el ecuador de la misma, aunque podría ser por cualquier otro sitio) y le hacemos un nudo corredizo. Ahora tiramos del extremo de la cuerda. ¿Qué pasa?. Pues que la cuerda deslizará por la superficie y poco a poco la circunferencia que formaba al principio se hará cada vez más pequeña hasta que en la parte superior o inferior de la esfera será como un punto. Y esto pasa con cualquier curva cerrada situada en cualquier parte de la esfera. Esto es a grandes rasgos el significado de simplemente conexo.

Intentemos hacer lo mismo con un toro, 2-variedad que no es simplemente conexa:

Supongamos que situamos la cuerda rodeando el toro en perpendicular a la figura. Si tiráramos de ella no pasaría lo mismo que en el caso anterior, seguiría siendo de la misma forma y del mismo tamaño, y lo mismo ocurriría si moviéramos la cuerda alrededor del toro.

Si rodeamos el toro en paralelo a la figura y tiramos de la cuerda sí conseguiremos deformarla, pero debido al agujero que el toro tiene en medio no podremos conseguir que la cuerda llegue a ser un punto, como en el caso anterior. Cuando llegáramos al borde interno no podríamos seguir. De esta forma podemos ver que efectivamente el toro es una 2-variedad que no es simplemente conexa.

Al estar demostrada la generalización de la conjetura para n = 2 lo expuesto anteriormente nos dice que las 2-variedades esfera y toro no son homeomorfas. Es decir, que de las propiedades topológicas de una de ellas no podemos sacar información de las propiedades topológicas de la otra, debemos estudiar cada 2-variedad por separado.

Sin embargo, si por ejemplo tomamos un elipsoide

podemos ver que el experimento de la cuerda nos da los mismos resultados que los obtenidos con la esfera. Al ser también el elipsoide una 2-variedad compacta tenemos, por el (en este caso sí) teorema de Poincaré que la esfera S² y el elipsoide son homeomorfos. Esto también se puede ver intuitivamente en este caso, ya que por ejemplo podemos deformar el elipsoide (sin romperlo) y convertirlo en una esfera.

Esto es lo que ocurre con 2-variedades. Aunque el estudio de las 3-variedades no se puede realizar igual geométricamente creo que la explicación anterior puede servir para que todo el mundo entienda de manera intuitiva el enunciado del teorema.

Y para terminar un apunte más: ¿Por qué puede ser importante un resultado así?. Pues muy sencillo. Un homeomorfismo es una cosa muy gorda. Decir que dos cosas son homeomorfas es decir que, como dije antes, son topológicamente iguales, es decir, que comparten muchas propiedades topológicas. Si el resultado es cierto comprobando que una 3-variedad es compacta y simplemente conexa sabremos muchísimas más cosas de ella, ya que las propiedades topológicas de S³ son conocidas, y al ser homeomorfas la otra 3-variedad hereda todas ellas. A simple vista puede parecer sencillo, ya que es normal pensar solamente en 3 dimensiones, es decir, en 2-variedades y en sus representaciones gráficas. El problema viene cuando queremos estudiar cosas que no podemos ver ni representar gráficamente. En estos casos si necesitamos sacar información sobre un cierto objeto y tenemos teoremas como éste el trabajo necesario para ello se reduce bastante. Además este tipo de resultados ayudan a clasificar los objetos. Ahora podemos decir que topológicamente hablando sólo hay una 3-variedad compacta y simplemente conexa: la 3-esfera S³, ya que cualquier otra 3-variedad compacta y simplemente conexa es homeomorfa a ella.

Y aquí acaba este post. Espero que os haya ayudado a comprender un poquito mejor este tema de la conjetura de Poincaré. De todas formas si hay alguna duda, observáis algún error o queréis hacer algún apunte no os cortéis y hacedlo en los comentarios.

P.D.: En menéame dan un detalle que se me olvidó poner: en realidad lo que Perelman ha demostrado no es la conjetura de Poincaré, sino un resultado más general del cual la conjetura es un caso particular: la conjetura de geometrización de Thurston (que supongo que ahora pasará a llamarse teorema de Thurston-Perelman), propuesta por William Thurston, medalla Fields en 1982. Gracias jorginius.

¿Sabía que…

Posted By ^DiAmOnD^ on 30 de agosto de 2006 in Geometría, ¿Sabía que ...? | 8 comments

…este teorema relacionado con triángulos (podéis ver su demostración aquí) se atribuye al mismísimo Napoleón Bonaparte?

Pero, como en otras muchas ocasiones, parece ser que ésto tiene más de leyenda que de realidad, ya que casi con toda seguridad el padre de este resultado no fue Napoleón sino Lorenzo Mascheroni.

Siempre compuesto

Posted By gaussianos on 30 de agosto de 2006 in Juegos, Números primos | 20 comments

Ya comentamos algo sobre Sophie Germain en este post sobre el último teorema de Fermat. Los trabajos de esta matemática francesa estuvieron dedicados principalmente a la teoría de números, y más concretamente al último teorema de Fermat. En el transcurso de estos trabajos Sophie fue capaz de encontrar muchos resultados interesantes. Lo que hoy os traigo un un descubrimiento sencillo y curioso que probablemente apareciera durante el estudio de algún problema más complicado. El enunciado es el siguiente:

Sabiendo que a es un número natural mayor que 1 demostrar que el número a⁴ + 4 es un número compuesto (es decir, que no es un número primo)

Espero vuestras respuestas.

Actualización: Aquí tenéis la solución del juego dada por mimetist. El proceso lo podéis ver en los comentarios:

a^4 + 4 = (a^2 + 2a + 2)(a^2 – 2a + 2)

La infinitud de los números primos y Fermat

Posted By ^DiAmOnD^ on 29 de agosto de 2006 in Demostraciones, Números enteros, Números primos, Teoremas | 1 comment

Vimos hace unos días qué eran los números de Fermat. Vimos que se definían como F_n = 2^{2^n} + 1, con n = 0, 1, … . Como comentamos en ese post Fermat conjeturó que todos esos números eran primos, pero años después Euler se encargó de refutar esa conjetura demostrando que F₅ era compuesto.

Como dijimos en ese post este hecho no hace que estos números de Fermat pierdan toda su importancia. Ni mucho menos. En este post vamos a ver otra demostración de la infinitud de los números primos (en este post ya vimos una) usando los números de Fermat. Vamos con ella:

El primer paso que debemos dar es demostrar la siguiente relación que cumplen los números de Fermat:

F₀ · F₁ · F₂ · … · F_{n – 1} = F_n – 2

Lo haremos por inducción¹:

1.- En el primer caso, n = 0, obtenemos:
F₀ = F₁ -2
lo cual es cierto ya que
F₀ = 3 y F₁ = 5

2.- Supongamos ahora que la igualdad es cierta para n – 1 y demostrémosla para n:

F₀ · F₁ · F₂ · … · F_n = (F₀ · F₁ · F₂ · … · F_{n – 1}) · F_n =
= (por hipótesis de inducción) = (F_n – 2) · F_n =
=(2^{2^n} +1 – 2 ) · (2^{2^n} +1) = (2^{2^n} -1) · (2^{2^n} +1) =
= 2^{2^(n + 1)} – 1 = 2^{2^(n + 1)} + 1 – 2 = F_{n + 1} – 2

Por tanto la relación de recurrencia anterior se cumple para todo n número natural.

Ya que sabemos que esta relación de recurrencia es cierta echémosle otro vistazo:

F₀ · F₁ · F₂ · … · F_{n – 1} = F_n – 2

A partir de ella podemos deducir que ningún número de Fermat F_k es divisible por ninguno de los factores que forman los números de Fermat anteriores a él. Veámoslo utilizando el método de reducción al absurdo²:

Supongamos que F_k, con k entre 1 y n – 1 tiene como factor en su descomposición en números primos a un cierto primo p, y supongamos que F_n es divisible por p. Traslademos esta información a la relación de recurrencia:

F₀ · F₁ · F₂ · … ·F_k/p· … · F_{n – 1} = F_n/p – 2/p

Como F_k es divisible por p el lado izquierdo de la igualdad es un número entero. Por tanto el lado derecho de la igualdad también debe serlo. Como F_n es divisible por p (es la suposición que hemos hecho) también es un número entero y en consecuencia 2/p también lo es, es decir, se tiene que 2 también debe ser divisible por p. La única posibilidad entonces es p = 2, pero eso es imposible ya que si fuera cierto ni F_k ni Fn serían divisible por p, ya que todos los números de Fermat son impares. Por tanto, partiendo de nuestra suposición hemos llegado a una contradicción. Según reducción al absurdo esto nos dice que nuestra suposición es falsa. Es decir: ningún número de Fermat es divisible por ningún factor de ningún número de Fermat menor que él

Probado esto la demostración es coser y cantar: el resultado anterior nos dice que cada número de Fermat aporta nuevos números primos a los que ya teníamos en los números de Fermat anteriores (él mismo si es primo o sus factores primos si es compuesto, ya que ningún número de Fermat anterior puede tener como factor a ninguno de los factores primos del nuevo número). Por tanto, teniendo en cuenta que hay infinitos números de Fermat (para cada n número natural tenemos un número de Fermat) los factores primos de todos ellos formarán un conjunto infinito, y en consecuencia el conjunto de los números primos es infinito³. Y hemos terminado la demostración.

Como último apunte destacar que en ningún momento de la demostración se ha dicho (ni se ha necesitado) que todos los números de Fermat sean primos. De hecho sabemos que esto no es cierto (ya lo comentamos al comienzo de este post). Lo que hemos usado es que cada dos números de Fermat son primos entre sí (hecho que hemos demostrado).

(Fuente: Tío Petros)

¹: El método de inducción es un método de demostración que se usa para demostrar propiedades sobre el conjunto de los números naturales. Consiste en lo siguiente:

Supogamos que tenemos un subconjunto A de números naturales que verifica lo siguiente:
1.- 0 pertenece a A
2.- Si k – 1 pertenece a A entonces k pertenece a A

Entonces A es el propio conjunto N de los números naturales.

Nosotros lo hemos utilizado de la siguiente forma: si nuestra propiedad (la ley de recurrencia anterior) se cumple para el 0 y en el caso de que se cumpla para cierto número natural n – 1 entonces se cumple para n se tiene que se cumple para todos los números naturales.

²: El método de reducción al absurdo es un método de demostración que consiste en lo siguiente:

Supongamos que queremos demostrar cierta afirmación P. Lo que hacemos es suponer que esa afirmación es falsa y llegar a partir de esta suposición a un resultado contradictorio. Por tanto tenemos que nuestra afirmación P no puede ser falsa (ya que nos conduce a una conclusión absurda). Por tanto debe ser verdadera.

Nosotros lo hemos usado así: para demostrar que F_n no tenía como factor primo a nigún factor primo de ningún F_k menor que él hemos supuesto que sí lo tenía (es decir, que la afirmación que queríamos demostrar era falsa) y hemos llegado a partir de ahí una conclusión absurda. Por tanto nuestra afirmación debe ser necesariamente verdadera.

³: Esto no significa que en este conjunto formado por todos los factores de todos los números de Fermat se encuentren todos los números primos. Faltarán muchos, pero si aun faltando muchos tenemos un conjunto infinito al añadir los que faltan el conjunto seguirá siendo infinito, que es lo que queríamos demostrar.