A puntito de acabar 2024, desde Gaussianos espero que hayáis tenido unas muy Felices Fiestas y que el próximo 2025 sea para vosotros un año lleno de salud, felicidad y diversión (todo es necesario en esta vida). Aunque puede que muchos piensen que la época en la que estamos no es la mejor, poniendo nuestro granito de arena personal podemos hacer que el tiempo en el que nos ha tocado vivir sea mucho más agradable.

Como ya sabréis los visitantes habituales de Gaussianos, hoy toca recopilación de propiedades numéricas interesantes del número que corresponde al año que está a punto de comenzar. Es posible que muchas (quizás la mayoría) ya las hayáis visto por redes sociales, pero espero que entre todas las que os dejo a continuación encontréis alguna que os resulte curiosa y que todavía no conozcáis.

Comenzamos con la que da nombre a esta entrada: 2025 es un Año Cuadrado, ya que es igual al cuadrado de un número natural:

2025=45^2

Pero ésta no es la única característica interesante relacionada con potencias que tiene nuestro número. Más adelante veremos unas cuantas más.

Al igual que ocurrió el año pasado, 2025 comparte una característica algunos de los años anteriores: 2025 es un año Harshad. Decimos que un número es un número harshad (o número de Niven) si puede dividirse de forma exacta entre la suma de sus dígitos, y 2025 lo es:

\cfrac{2025}{2+0+2+5}=\cfrac{2025}{9}=225

Estos números fueron definidos por D. R. Kaprekar (sí, el de la constante de Kaprekar), y su denominación proviene del sánscrito y significa algo así como «que da alegría». También se llaman números de Niven, debido a un trabajo de Ivan M. Niven de 1977 sobre ellos.

Como decía, los tres años anteriores han sido Harshad:

  • 2022 es divisible entre 2+0+2+2=6
  • 2023 es divisible entre 2+0+2+3=7
  • 2024 es divisible entre 2+0+2+4=8

Pero no lo serán ni 2026 (que no es divisible entre 2+0+2+6=10) ni 2027 (que no es divisible entre 2+0+2+7=11). Tenéis más de estos números en la secuencia A005349 en la OEIS.

Evidentemente, es un número impar y compuesto, al ser 2025=3^4 \cdot 5^2 (hasta 2027 no tendremos un año primo). También es un número deficiente, ya que la suma de sus divisores propios es menor que el propio número:

\begin{matrix} \mbox{Divisores de } 2025: \, 1, 3, 5, 9, 15, 25, 27, 45, 75, 81, 135, 225, 405, 675, 2025 \\ \\ 1+3+5+9+15+25+27+45+75+81+135+225+405+675=1726 < 2025 \end{matrix}

También es un número malvado (evil number), ya que su expresión en binario tiene un número par de unos:

2025=11111101001_{(2}

Es un número duffiniano, al ser primo relativo con el número resultante de la suma de sus divisores:

\begin{matrix}\textrm{Suma de sus divisores: } 1+3+5+9+15+25+27+45+75+ \\ \\ +81+135+225+405+675+2025=3751=11^2 \cdot 31 \end{matrix}

Tenéis más información sobre ellos en la secuencia A003624 en la OEIS.

Y también es un número de Curzon, que son los números n tales que 2^n+1 es divisible entre 2n+1. En este caso:

\cfrac{2^{2025}+1}{2 \cdot 2025+1}=\cfrac{3852 \ldots 4433}{4051}=9509 \ldots 8283

Podéis encontrar más sobre estos números en la secuencia A224486 de la OEIS.

Al igual que ocurrió en 2024, 2025 no es un número congruente (es decir, no es el área de ningún triángulo rectángulo de catetos racionales). Veníamos de cuatro años que sí lo eran (2020, 2021, 2022 y 2023) y el año pasado entramos en una serie cinco que no lo son. El próximo año que corresponderá con un número congruente será, por tanto, 2029. Más información en la secuencia A003273 en la OEIS.

Por otro lado, 2025 vuelve a ser un número educado (como 2024), al poder expresarse como suma de dos o más enteros positivos consecutivos. De hecho, puede hacerse de 14 maneras distintas. Os dejo tres de ellas:

\begin{matrix} 2025=674+675+676 \\ \\ 2025=403+404+405+406+407 \\ \\ 2025=128+129+130+\ldots+140+141+142 \end{matrix}

Se da la circunstancia de que los únicos números enteros positivos que no son educados son las potencias de 2, por lo que «prácticamente» todos los números enteros positivos son educados. Por cierto, 2025 también puede escribirse como la suma de todos los enteros positivos hasta 45, tomando los menores de 45 hacia adelante y hacia atrás:

2025=1+2+3+\ldots+43+44+45+44+43+\ldots+3+2+1

Tenemos también que 2025 es suma de dos números triangulares. Más concretamente:

2025=T_{44}+T_{45}

Es interesante recordar que los números triangulares son los que representan un número de puntos que se pueden disponer formando un triángulo equilátero. El n-ésimo número triangular, T_n, tendrá n puntos en cada uno de los lados del triángulo. La fórmula que genera estos números, para n \geq 1, es:

T_n=\cfrac{n(n+1)}{2}

En este caso, ni de lejos se acerca en singularidad a 2024, ya que éste último es suma de los primeros 22 números triangulares. Podéis verlo en el post sobre 2024 cuyo enlace os dejo al final de esta entrada.

Llegamos ahora a las propiedades de 2025 relacionadas con las potencias que os mencionaba al principio de la entrada: 2025 tiene tantas propiedades curiosas e interesantes relacionadas de alguna forma con potencias que estuve a punto de calificarlo como Año Potencia. Ahí van unas cuantas:

  • La más evidente es la ya comentada: 2025 es un número cuadrado, ya que

    2025=45^2

    El anterior fue 1936 y el siguiente será 2116, así que me da que pocos de los que estamos aquí volveremos a ver un número cuadrado en nuestras vidas. Ah, otra cosa: si partimos 2025 en grupos de dos cifras, 20 y 25, y sumamos da…efectivamente, 45.

    Y una más: al ser el cuadrado de un número impar, es también un número octogonal centrado (que podría decirse que son los números de puntos que se pueden disponer como octógonos concéntricos con un punto en el centro). Os dejo la representación de algunos de ellos (tomada de aquí):

    Números octogonales centrados

  • El número 2025 se puede escribir como suma de dos cuadrados de enteros positivos de una única forma, que es la siguiente:

    2025=27^2+36^2

  • Se cumple también que 2025 es igual al producto de los divisores propios de 45 (su raíz cuadrada):

    2025=1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 9 \cdot 15

  • 2025 se puede escribir como producto de dos cuadrados y como suma de tres cuadrados:

    \begin{matrix}2025=5^2 \cdot 9^2=3^2 \cdot 15^2 \\ \\ 2025=5^2+20^2+40^2 \end{matrix}

    Sobre éste último detalle, tenéis más formas en este tuit de Antonio Roldán. Por cierto, a quienes os gusten las curiosidades numéricas os recomiendo mucho seguir su cuenta,

  • Partiendo de 2025, que es un cuadrado, sumando 1 a cada una de sus cifras volvemos a obtener un cuadrado:

    3136=56^2

    El anterior número con el que ocurre esto es el 25, el siguiente es el 13225 y el siguiente, el 4862025. Por dar un dato más, el décimo número de esta sucesión tiene 20 cifras. Tenéis mas información sobre estos números en la secuencia A061843 de la OEIS.

  • Se tiene que 2025 es igual a la suma de los cubos de los primeros nueve enteros positivos:

    2025=1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+7^3+8^3+9^3

    Os dejo este magnífico gif que Ignacio Larrosa nos dejó hace unos días en el grupo de Telegram Retos Matemáticos:

    2025 como suma de 9 cubos

    Por cierto, esto implica que también se tiene que 2025 es igual al cuadrado de la suma de los primeros nueve enteros positivos

    2025=(1+2+3+4+5+6+7+8+9)^2

    Si alguien no ha pillado ese «implica», puede echarle un vistazo al artículo Cómo generar conjuntos CuCu. El resultado general del que proviene esto se conoce como teorema de Nicómaco. Os dejo una imagen representativa del caso n=5 tomada de aquí:

    Teorema de Nicómaco para el caso n=5

  • Al igual que 2024, 2025 es un número apocalíptico, ya que 2^{2025} contiene la secuencia 666 en sus cifras, y además ¡¡aparece dos veces!! (lo tenéis completo aquí):

    2^{2025}=3852487334 \ldots 2140 \mathbf{666} 1533 \ldots 8305 \mathbf{666} 1461 \ldots 8062994432

    El próximo año con esta característica será el 2032. Tenéis más información sobre estos números en la secuencia A007356 de la OEIS.

Y ahora, como no podía ser de otra forma, vamos con la relación de 2025 con las ternas pitagóricas, que ya sabéis que por aquí nos encanta ese tema:

El número 2025 es hipotenusa de exactamente dos ternas pitagóricas (ninguna de ellas primitiva):

\begin{matrix} 2025^2=567^2+1944^2 \\ \\ 2025^2=1215^2+1620^2 \end{matrix}

Además, 2025 es miembro de otras veintidós ternas pitagóricas, siendo el cateto más grande en tres de ellas y el más pequeño en las otras diecinueve. De esas veintidós ternas, solamente son primitivas (esto es, no hay ningún factor común a sus tres elementos) dos de ellas:

\begin{matrix}(2025,2968,3593) \\ \\ (2025,2050312,2050313) \end{matrix}

En esta entrada de MatesCercanas tenéis todas las ternas en las que 2025 es alguno de sus miembros, y en Gaussianos tenéis más información sobre ternas pitagóricas.

Para terminar, un precioso cuadrado mágico de números consecutivos cuya constante mágica es 2025:

Cuadrado

Este cuadrado mágico contiene todos los números naturales desde el 393 al 417 y, al tener constante mágica igual a 2025, todas sus filas, todas sus columnas y sus dos diagonales suman exactamente 2025…

…pero hay más. Éste es un cuadrado mágico pandiagonal, lo que significa que las diagonales quebradas (diagonales paralelas que contengan, en total, cinco números) también suman 2025. Os dejo un par de ejemplos para que quede más claro:

\begin{matrix} 410+399+413+407+396=2025 \\ \\ 412+401+415+404+393=2025 \end{matrix}

No me digáis que no es maravilloso.

Por cierto, para 2025 podemos crear cuadrados mágicos de enteros positivos consecutivos de órdenes 3, 5, 6, 9, 10 y 15 (aunque no serán todos pandiagonales). El que os acabo de poner lo he tomado de la web de Inder J. Taneja (me disponía a crearlo yo, me dio un poco de pereza, lo busqué y lo encontré allí). Aprovecho para dejaros un par de entradas de dicha web con un montón de curiosidades numéricas y cuadrados mágicos relacionados con 25 y con 2025:

Si conocéis más propiedades curiosas e interesantes de 2025 que os parezcan dignas de ser mencionadas, no dudéis en dejárnoslas en los comentarios de esta entrada.

Fuentes:

Curiosidades de otros años publicadas en el blog:

La imagen que ilustra este artículo ha sido creada con el generador de imágenes con IA de Bing y expandida hacia los laterales con la herramienta Uncrop de Pixelcut.

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