La humanidad lleva siglos, incluso milenios, intentando construir el número Pi con regla y compás con las reglas de la Grecia clásica. Actualmente sabemos que eso es imposible, aunque esto no echa para atrás a muchos que lo siguen intentando…

Pero, incluso con esa imposibilidad, las construcciones que se quedan cerca de la exactitud siguen teniendo interés, sobre todo si son simples y sencillas de realizar. Hoy, día de Pi de 2021 y también Día Internacional de las Matemáticas, os traigo una que me parece interesante y muy cercana a nuestro amado Pi.

Antes de nada, no está de más recordar de nuevo por qué no es posible construir Pi con regla y compás con las normas griegas (reglas que podéis consultar aquí). La cuestión ese sencilla, aunque las ideas detrás de ella son muy profundas:

– Todo número construible es algebraico (es decir, raíz de un polinomio con coeficientes enteros).
– El número Pi es trascendente (es decir, no es algebraico).
– Por tanto, Pi no es construible con regla y compás.

Merece la pena también comentar que este hecho es el que provoca que la cuadratura del círculo sea imposible con regla y compás.

Demostrado esto, sólo podemos aspirar a realizar construcciones aproximadas. Hoy vamos a ver una bastante buena: el método de Kochański. Este método, atribuido al matemático polaco del siglo XVII Adam Adamandy Kochański, consigue aproximar Pi con cuatro decimales exactos. A continuación os dejo la explicación paso a paso:

– Partimos de una circunferencia de centro el punto A y radio AB=1.
– Dibujamos la recta r que pasa por AB y tomamos el otro punto de intersección (uno de ellos es B) con la circunferencia. Lo llamamos C y lo marcamos bien, será importante.
– Dibujamos la circunferencia de centro B y radio BA=1 y nos quedamos con uno de los puntos de corte de esa circunferencia con la circunferencia inicial. Lo llamamos D.
– Dibujamos la circunferencia de centro D y radio DA=1. Dicha circunferencia corta a la anterior en dos puntos: el A y otro. Llamamos E al otro punto.
– Dibujamos la perpendicular a la recta r que pasa por B (la llamamos s), y después la recta que pasa por A y E. Dichas rectas se cortan en un punto, al que llamamos F.
– Ahora hay que trasladar el punto F tres unidades hacia la derecha por s. Para ello, dibujamos el punto medio del segmento AF (lo llamamos G), el punto de intersección de la circunferencia inicial con la recta que pasa por A y E (lo llamamos H) y la circunferencia de centro G y radio GH. Dicha circunferencia corta a la recta que pasa por A y E en dos puntos: H y otro. Llamamos I a ese otro punto, y nos hemos asegurado de que el segmento FI tiene longitud 1.
– Desde F, trasladamos esta longitud tres veces a lo largo de la recta s, y obtenemos el punto L. Se tiene entonces lo siguiente:

\mbox{Longitud de }CL=\sqrt{\cfrac{40}{3}-2\sqrt{3}}=3,141533 \ldots

Gráficamente, la cosa queda de la siguiente manera:

Método de Kochanski

Os recomiendo que intentéis reproducir vosotros la construcción, pero por si alguien no se ha aclarado con algún detalle aquí tenéis un applet de Geogebra en el que se muestra paso a paso cómo construir este segmento.

Y digo yo: ¿nos vamos a quedar sólo con la construcción? ¿No va a haber ni siquiera un comentario sobre cómo llegamos a ese valor tan cercano a Pi? Si fuera así, este blog no sería Gaussianos. Pero, como en muchas otras ocasiones, no voy a ser yo quien dé la explicación, sino que os pido a vosotros que uséis los comentarios para contarnos cómo se puede calcular la longitud del segmento CL. Seguro que entre todos conseguimos darle sentido a esto para que todo el mundo lo entienda. Muchas gracias de antemano por vuestra participación.

Aprovecho para dejaros algunos enlaces de artículos de Gaussianos sobre Pi que creo que serán de vuestro interés:

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