De nuevo 14 de marzo, de nuevo estamos en el Día de Pi (por lo de que esta fecha se escribe 3-14 en notación estadounidense). Y, de nuevo, este blog le dedica una entrada a este maravilloso número.

¿Sabes mucho sobre el número Pi? Seguro que recuerdas que aparece en muchas fórmulas que viste en tu etapa académica, como en la fórmula para calcular el área de un circulo (aquí en vídeo) o en la que nos calcula el volumen de una esfera. Posiblemente sepas que Pi es un número irracional, y es probable que alguna vez hayas escuchado que también es un número trascendente (hecho que, entre otras cosas, implica que es imposible cuadrar un círculo).

Habrás oído/leído en alguna ocasión que todo está en Pi. De ello hablaron, de manera superficial, en El Hormiguero el mes pasado. Bueno, en realidad esto está por demostrar, aunque se cree firmemente que es así. Esto significaría que Pi es un número normal. Tuiteé sobre ello el día en el que se emitió aquel programa:

Si has indagado un poquito, sabrás que el número Pi es conocido por aparecer en los lugares más insospechados. Por ejemplo, aparece la probabilidad de escoger al azar dos números primos relativos (precisamente por estar relacionado con el famoso problema de Basilea). Y también hace acto de presencia en muchas sumas y productos infinitos, siendo éste el primero del que se tiene constancia.

¿Cuántos decimales de Pi sabrías recitar? ¿Dos? ¿Cinco? ¿O tal vez eres un gran calculista y recuerdas cientos de ellos? Si no eres de estos últimos y quieres aprenderte unos cuantos decimales de forma sencilla, te recuerdo esta famosísima frase que nos ayuda a recordar las primeras 20 cifras de Pi contando el número de letras de cada palabra:

Soy y seré a todos definible, mi nombre tengo que daros, cociente diametral siempre inmedible soy de los redondos aros.

¿Que quieres algo parecido pero para muchos más decimales? Pues échale un vistazo a Cadaeic Cadenza. Spoiler: es bestial.

Y puede ser que alguna vez hayas escuchado cómo suena Pi, pero de lo que estoy convencido es de que lo has visto en la identidad de Euler:

Pero es muy probable que no conozcas ninguna de las cinco apariciones del número Pi que te traigo a continuación. De todas he hablado en este blog, pero son tan poco conocidas que merece la pena recordarlas y recrearse en ellas:

  • Sabemos que Pi es una constante (siempre vale lo mismo), y que está íntimamente relacionada con el círculo. Pero antes de que apareciese esa letra, \pi, que da nombre a esa constante, hubo que demostrar que en realidad ahí había una constante. La cuestión es la siguiente: ¿quién lo demostró? ¿Cómo lo hizo? De ello hablamos en ¿Quién fue el primero que probó que la constante del círculo es constante?. Y, por lo que contaba la fuente de la que sacamos gran parte de la información, no fue nada fácil seguirle la pista histórica al tema.
  • El número Pi aparece en el triángulo de Pascal. Es cierto que no es una aparición «directa», sino que hay que hacer alguna cuentecita, pero estar está. De ello hablé en Cómo encontrar el número Pi en el triángulo de Pascal. ¿Que no sabes qué es el triángulo de Pascal? Mira la siguiente imagen:

    \begin{matrix} 1 \\ 1 \quad 1 \\ 1 \quad 2 \quad 1 \\ 1 \quad 3 \quad 3 \quad 1 \\ 1 \quad 4 \quad 6 \quad 4 \quad 1 \\ 1 \quad 5 \quad 10 \quad 10 \quad 5 \quad 1 \\ 1 \quad 6 \quad 15 \quad 20 \quad 15 \quad 6 \quad 1 \\ 1 \quad 7 \quad 21 \quad 35 \quad 35 \quad 21 \quad 7 \quad 1 \\ 1 \quad 8 \quad 28 \quad 56 \quad 70 \quad 56 \quad 28 \quad 8 \quad 1 \\ 1 \quad 9 \quad 36 \quad 84 \quad 126 \quad 126 \quad 84 \quad 36 \quad 9 \quad 1 \\ 1 \quad 10 \quad 45 \quad 120 \quad 210 \quad 252 \quad 210 \quad 120 \quad 45 \quad 10 \quad 1 \\ 1 \quad 11 \quad 55 \quad 165 \quad 330 \quad 462 \quad 462 \quad 330 \quad 165 \quad 55 \quad 11 \quad 1 \\ 1 \quad 12 \quad 66 \quad 220 \quad 495 \quad 792 \quad 924 \quad 792 \quad 495 \quad 220 \quad 66 \quad 12 \quad 1 \end{matrix}

  • ¿Has oído hablar del problema de los cuatro cuatros? Es un conocido entretenimiento/problema por el que hemos pasado muchos amantes de la matemática recreativa. Bien, pues se puede expresar Pi con cuatro cuatros, aunque hay que hacer un poco de trampa (pista: \Gamma). Puedes ver cómo hacerlo en Pi con cuatro cuatros.
  • Sorprendentemente, hay una estrecha relación entre el número Pi y el conjunto de Mandelbrot. Y digo sorprendentemente porque, teniendo en cuenta cómo se construye este conjunto de Mandelbrot, no hay nada que nos haga siquiera sospechar sobre esta relación (la manía de Pi de aparecer en cualquier sitio). En Pi y el conjunto de Mandelbrot hablamos con detalle de esa relación.

    Por cierto, sabes qué es el conjunto de Mandelbrot, ¿verdad? Si, éste:

  • Hemos hablado antes de la aparición de Pi en muchas sumas y muchos productos infinitos. Pero de todas las que podríamos citar aquí os voy a dejar la que más me gusta: la suma infinita que relaciona Pi con una variante de la serie armónica. Sí, lo sé, la serie armónica es divergente, pero si hacemos algunos pequeños cambios nos acaba dando Pi:

    \pi=1+\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{3}+\cfrac{1}{4}-\cfrac{1}{5}+\cfrac{1}{6}+\cfrac{1}{7}+\cfrac{1}{8}+\cfrac{1}{9}-\cfrac{1}{10}+\cfrac{1}{11}+\cfrac{1}{12}-\cfrac{1}{13}+ \ldots

    ¿Dónde hay que colocar esos signos «menos» para que nos acabe dando Pi? Echa un vistazo a El desarrollo más bello de Pi como suma infinita y lo entenderás.

Os dejo el Felíz Día de Pi 2018 en el que podéis encontrar los enlaces a otros artículos publicados un 14 de marzo en Gaussianos. Y también os recuerdo que, como no podía ser de otra forma, Pi tiene su categoría propia en este blog.

Y para finalizar, os propongo que nos dejéis un comentario con alguna otra aparición curiosa o propiedad interesante del número Pi. Nos servirá para ampliar nuestros conocimientos y, por qué no, como idea para próximos artículos. Muchas gracias por adelantado.

La imagen de las cifras de Pi la he tomado de aquí, y la de la identidad de Euler de aquí. La foto de los dados de Pi es de cosecha propia.

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