Y llego el día. En la fecha de hoy, 14 de marzo, se ha celebrado desde hace ya unos años el Día de Pi, y desde 2019 se celebra el Día Internacional de las Matemáticas.

Llamadme nostálgico si queréis, pero, para mí, este día será siempre el Día de Pi, la constante matemática que más me ha fascinado desde siempre. Y, como suelo hacer en este día tan especial, os traigo una curiosidad sobre ella que me pasaron hace ya tiempo por Twitter (por desgracia, no recuerdo quién fue).

Si preguntas a alguien sobre si recuerda el valor de Pi, muchos te responderan 3,14, y otros muchos te dirán 3,1416. Teniendo en cuenta que Pi es irracional (por lo que tiene infinitos decimales que no siguen ningún patrón periódico de repetición), es evidente que ambas son aproximaciones («redondeos») del valor de Pi (por cierto, aquí otra demostración de la irracionalidad de Pi). Ahora, ¿son buenas o malas aproximaciones? Preguntado de otra forma: ¿cuántos decimales de Pi necesitamos en nuestra aproximación para que podamos considerar que nuestros cálculos son «prácticamente correctos» (en el sentido de que el error sea «despreciable»)?

Se sabe que solamente hacen falta 10 decimales de Pi para calcular la circunferencia de la Tierra con un error de un milímetro. Ahora, hay situaciones en las que hay que realizar cálculos con distancias mucho mayores que las que determinan el tamaño de nuestro planeta: los cálculos en Astronomía.

Por ello, creo que tiene interés saber cúantos decimales utilizan en la NASA para sus cálculos. Y va a ser Marc Rayman, director e ingeniero jefe de la misión Dawn de la propia NASA, quien nos lo cuente.

Digo que va a ser él porque es él mismo quien responde a una pregunta sobre ello en la web del Laboratorio de Propulsión a Chorro (JPL) de la NASA. Hace unos años, les llego la siguiente cuestión a través de Facebook:

¿JPL utiliza solamente 3,14 para sus cálculos con Pi? ¿O se usan más decimales, digamos algo como 3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117067982148086513282306647093844609550582231725359408128481117450284102701938521105559644622948954930381964428810975665933446128475648233786783165271201909145648566923460348610454326648213393607260249141273724587006606315588174881520920962829254091715364367892590360?

La respuesta de Marc Rayman fue la siguiente: en la NASA usamos 15 decimales de Pi. Es decir, usan la siguiente aproximación de Pi:

\pi \approx 3,141592653589793

El propio Marc justifica esta decisión de la siguiente forma:

No hay cálculos físicamente realistas que tengan que realizar los científicos y que necesiten de verdad más de esa cantidad de decimales, y muchos menos una cantidad como la que aportaba quien hace la pregunta.

Para apoyar su respuesta, Marc aporta los siguientes ejemplos:

La astronave más distante de la Tierra (al menos, hasta 2016, que es cuando se publicó esta respuesta) es la Voyager 1: a unos 12500 millones de millas de nuestro planeta. Consideremos un círculo con ese descomunal radio y calculemos la longitud de su circunferencia. Bien, pues el error cometido si usamos una aproximación de Pi con 15 decimales es de, aproximadamente, 1,5 pulgadas.

Vamos a hacer nosotros los cálculos con las unidades que más familiares nos son. Se tiene que 12500 millones de millas es, aproximadamente, 20116,8 millones de kilómetros. Si queremos calcular la longitud de una circunferencia que tenga ese radio (recuerdo que la fórmula sería L=2 \cdot \pi \cdot R), obtenemos los siguientes resultados:

  • Usando el valor real de Pi:

    126397582187.4703052390 \, \mbox{km}

  • Usando la aproximación de Pi con 15 decimales:

    126397582187.4702956448 \, \mbox{km}

Como podéis ver, la primera diferencia se produce en el cuarto decimal (de un 3 a un 2). Mirando el siguiente decimal, vemos que la diferencia sería de menos de un centímetro. Considerando que el valor inicial del radio de nuestra circunferencia es una aproximación, podríamos decir que si tenemos un círculo cuyo radio es de unos 20116,8 millones de kilómetros, usando una aproximación de Pi con 15 decimales podemos calcular la longitud de su circunferencia con un error de unos pocos centímetros.

Segundo ejemplo de Marc:

Bajemos a nuestro planeta. En el ecuador, el diámetro de la Tierra es de, aproximadamente, 7926 millas. Bien, pues calculando la longitud de esta circunferencia con la aproximación de Pi de 15 decimales obtendríamos un valor cuyo error respecto el real es 10000 veces más fino que un pelo.

Hagamos de nuevo los cálculos con kilómetros. Tenemos que 7926 millas son 12755,66 kilómetros. Como ése sería el diámetro de la circunferencia, se tiene que la longitud de la misma se calcula con la fórmula L=d \cdot R. Vamos con ello:

  • Usando el valor real de Pi:

    40073,08774768918 \, \mbox{km}

  • Usando la aproximación de Pi de 15 decimales:

    40073.08774768917 \, \mbox{km}

Como se ve, la primera diferencia viene en el undécimo decimal. Esto es: la diferencia es bastante menor que un nanómetro de unos 10 nanómetros (gracias, Ángel). Para intentar hacernos una idea de cuánto es esto, os dejo este dato: el diámetro de un átomo de helio mide 0,1 nanómetros el diámetro de un glóbulo rojo está, aproximadamente, entre 6 y 8 nanómetros. Vamos, nah.

Marc nos deja un comentario más al respecto:

Vayamos a la distancia más larga que existe: el universo visible. El radio del universo es de unos 46 mil millones de años luz. Bien, pues si quisiéramos calcular la longitud de la circunferencia de un círculo con ese radio con un error menor que el diámetro de un átomo de hidrógeno necesitaríamos solamente 39 o 40 decimales.

Todo esto ejemplifica bastante bien el porqué de que no necesitemos más de esos 15 decimales para obtener buenos resultados en los cálculos con nuestra aproximación de Pi.

Curioso este asunto de la aproximación de Pi que usa la NASA. Tengo que reconocer que yo pensaba que usaban una aproximación con mayor cantidad de decimales. ¿Y vosotros? Contádnoslo en los comentarios.

Por cierto, según cuenta Marc Rayman, no es la primera vez que llega esa pregunta a la NASA. Hace unos cuantos años, la propuso un estudiante de ciencias de sexto grado (no sé a qué nivel corresponde en España) y entusiasta del espacio. Más adelante, ese estudiante tuvo la oportunidad de hacer un doctorado en Física y de involucrarse en la exploración espacial. ¿Su nombre? Marc Rayman.

Fuente: How many decimals of Pi do we really need?.

Y para finalizar, os dejo un buen puñado de enlaces a artículos de Gaussianos relacionados con Pi que, creo, merecen mucho la pena:

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