Pi y la suma de volúmenes de esferas N-dimensionales

Como ya es tradición en este blog, hoy toca post sobre nuestro amado número Pi. La razón es bien sencilla, y seguro que la conoces: hoy, 14 de marzo, es el Día de Pi por su escritura en forma estadounidense: 3-14. De hecho, en la fecha de hoy se celebrar desde 2019 el Día internacional de las Matemáticas, y se aprovecha para desarrollar multitud de actividades de divulgación de las mismas.

El tema de hoy, como podéis ver en el título de la entrada, tiene que ver con el número Pi y el volumen de la esfera. Pero no de una esfera cualquiera, sino el de ciertas esferas de radio 1 de dimensión N: ambas cosas nos van a dar un resultado maravilloso.

Comencemos primero con algunos volúmenes de esferas N-dimensionales (recordemos: de radio 1). Sus valores para los tres primeros enteros positivos son muy conocidos, y se pueden encontrar en muchos lugares:

Para $N=1$ , la esfera 1-dimensional es un segmento de radio 1. En este caso, su «volumen» se entiende como la longitud de dicho segmento, que es 2. Por tanto, $V_1=2$ .
Para $N=2$ , la esfera 2-dimensional es un disco de radio 1. En este caso, su «volumen» se entiende como el área de dicho disco. Sabiendo que el área de un disco de radio $R$ es $\pi \cdot R^2$ , se tiene que $V_2=\pi$ .
Para $N=3$ , la esfera 3-dimensional es lo que todos entendemos como una esfera de radio 1 en nuestro espacio tridimensional. Como sabemos que el volumen de para una esfera así de radio $R$ es $\frac{4}{3} \, \pi \, R^3$ , tenemos que $V_e=\frac{4}{3} \, \pi$ .

Lo que igual no sabemos es cuánto vale el volumen de una esfera 4-dimensional de radio 1. De hecho, quizás ni siquiera tengamos claro qué es exactamente una esfera de dimensión 4…

Aunque sea así, es relativamente sencillo calcular su volumen usando integrales y algunas relaciones conocidas entre los volúmenes de esferas N-dimensionales. Como de todo esto ya nos habló Fernando Alonso en Calculando Pi con volúmenes de hiperesferas, os voy a poner directamente el resultado para la esfera 4-dimensional de radio 1:

$V_4=\cfrac{\pi^2}{2}$

De una forma análoga, podríamos calcular los siguientes. Os dejo todos los valores desde $N=1$ hasta $N=8$ :

$\begin{array}{lllllll} V_1=2 & & V_2=\pi & & V_3=\cfrac{4 \pi}{3} & & V_4=\cfrac{\pi^2}{2} \\ \\ V_5=\cfrac{8 \pi^2}{15} & & V_6=\cfrac{\pi^3}{6} & & V_7=\cfrac{16 \pi^3}{105} & & V_8=\cfrac{\pi^4}{24} \end{array}$

En el artículo de Fernando, también podemos ver cómo calcular una expresión genérica para el volumen de una esfera N-dimensional cualquiera, separando N par de N impar. Como a nosotros nos interesan los pares, nos quedamos con ésa solamente:

$V_N=\cfrac{\pi^{N/2}}{\Gamma(\frac{N}{2}+1)}$

Como ya vimos en ¿Cuál es el volumen de la bola unidad de dimensión n? (artículo en el que también presentábamos esta expresión para el volumen de la esfera unidad de dimensión par), la gráfica de esta función es la que aparece a continuación. Como curiosidad, el valor de este volumen alcanza su máximo (en los enteros positivos, evidentemente) para $N=5$ :

También suena bastante contraintuitivo que dicho volumen vaya decreciendo conforme aumenta el valor de N, ¿verdad? A ver quién nos puede dar una explicación sobre esto.

Volviendo a la expresión anterior, si $N=2k$ (al ser par), tenemos que:

$V_{2k}=\cfrac{\pi^{k}}{\Gamma(k+1)}$

Como ya sabemos desde hace tiempo, la función Gamma es una generalización del factorial. De hecho, para valores enteros no negativos de $k$ se tiene que $\Gamma(k+1)=k!$ .

Ahora, extendamos esto hasta dimensión 0 (esto es, para $k=0$ ) y tomemos la suma de todos estos volúmenes:

$\displaystyle{\sum_{k=0}^{\infty} V_{2k}=\sum_{k=0}^{\infty} \cfrac{\pi^{k}}{k!}}$

¿Veis algo interesante? ¡Eso es! Como ya vimos en el post sobre la identidad de Euler, estamos ante la expresión de la función exponencial en forma de serie:

$e^x=\displaystyle{\sum_{k=0}^{\infty} \cfrac{x^k}{k!}}=1+x+\cfrac{x^2}{2}+\cfrac{x^3}{6}+\cfrac{x^4}{24}+\dots$

Esto significa que nuestra suma anterior es, de hecho, el valor de la función exponencial $e^x$ para $x=\pi$ . De aquí, llegamos a la maravilla de resultado que os contaba al principio: