Como ya es tradición en este blog, hoy toca post sobre nuestro amado número Pi. La razón es bien sencilla, y seguro que la conoces: hoy, 14 de marzo, es el Día de Pi por su escritura en forma estadounidense: 3-14. De hecho, en la fecha de hoy se celebrar desde 2019 el Día internacional de las Matemáticas, y se aprovecha para desarrollar multitud de actividades de divulgación de las mismas.
El tema de hoy, como podéis ver en el título de la entrada, tiene que ver con el número Pi y el volumen de la esfera. Pero no de una esfera cualquiera, sino el de ciertas esferas de radio 1 de dimensión N: ambas cosas nos van a dar un resultado maravilloso.
Comencemos primero con algunos volúmenes de esferas N-dimensionales (recordemos: de radio 1). Sus valores para los tres primeros enteros positivos son muy conocidos, y se pueden encontrar en muchos lugares:
- Para
, la esfera 1-dimensional es un segmento de radio 1. En este caso, su «volumen» se entiende como la longitud de dicho segmento, que es 2. Por tanto,
.
- Para
, la esfera 2-dimensional es un disco de radio 1. En este caso, su «volumen» se entiende como el área de dicho disco. Sabiendo que el área de un disco de radio
es
, se tiene que
.
- Para
, la esfera 3-dimensional es lo que todos entendemos como una esfera de radio 1 en nuestro espacio tridimensional. Como sabemos que el volumen de para una esfera así de radio
es
, tenemos que
.
Lo que igual no sabemos es cuánto vale el volumen de una esfera 4-dimensional de radio 1. De hecho, quizás ni siquiera tengamos claro qué es exactamente una esfera de dimensión 4…
Aunque sea así, es relativamente sencillo calcular su volumen usando integrales y algunas relaciones conocidas entre los volúmenes de esferas N-dimensionales. Como de todo esto ya nos habló Fernando Alonso en Calculando Pi con volúmenes de hiperesferas, os voy a poner directamente el resultado para la esfera 4-dimensional de radio 1:
De una forma análoga, podríamos calcular los siguientes. Os dejo todos los valores desde hasta
:
En el artículo de Fernando, también podemos ver cómo calcular una expresión genérica para el volumen de una esfera N-dimensional cualquiera, separando N par de N impar. Como a nosotros nos interesan los pares, nos quedamos con ésa solamente:
Como ya vimos en ¿Cuál es el volumen de la bola unidad de dimensión n? (artículo en el que también presentábamos esta expresión para el volumen de la esfera unidad de dimensión par), la gráfica de esta función es la que aparece a continuación. Como curiosidad, el valor de este volumen alcanza su máximo (en los enteros positivos, evidentemente) para :
También suena bastante contraintuitivo que dicho volumen vaya decreciendo conforme aumenta el valor de N, ¿verdad? A ver quién nos puede dar una explicación sobre esto.
Volviendo a la expresión anterior, si (al ser par), tenemos que:
Como ya sabemos desde hace tiempo, la función Gamma es una generalización del factorial. De hecho, para valores enteros no negativos de se tiene que
.
Ahora, extendamos esto hasta dimensión 0 (esto es, para ) y tomemos la suma de todos estos volúmenes:
¿Veis algo interesante? ¡Eso es! Como ya vimos en el post sobre la identidad de Euler, estamos ante la expresión de la función exponencial en forma de serie:
Esto significa que nuestra suma anterior es, de hecho, el valor de la función exponencial para
. De aquí, llegamos a la maravilla de resultado que os contaba al principio:
Fuentes y más información:
- Volume of an n-ball
- Sum of all spheres
- Integrales pi-áureas
- ¿Cuántos decimales de Pi utilizan en la NASA?
- Construyendo Pi con regla y compás de forma exacta (bueno, casi…)
- Calculando Pi con volúmenes de hiperfsferas
- Cinco cosas que posiblemente no sepas sobre Pi (y varias que seguro que ya sabías)
- Un límite inocente y una cuestión poco conocida (y sin demostrar) del número Pi
- Pi y la fórmula de sumación de Poisson
- Echegaray y la trascendencia de Pi: no lo cuento, lo hago
- Pi no siempre vale 3,14159…
- ¿Quién fue el primero que probó que “la constante del círculo” (Pi) es constante?
- El primer producto infinito con Pi como protagonista
- Un día de Pi muy especial
- (Vídeo) Singing Pi-gram
- La cuestión más importante que aún no se ha respondido sobre el número Pi
- El algoritmo de Chudnovsky, o cómo se calculan los decimales de Pi en el siglo XXi
- El desarrollo más bello de Pi como suma infinita
- Celebrando el día de Pi con matemáticos nacidos ese mismo día
- Pi y el conjunto de Mandelbrot
- Celebrando infinitamente el día de Pi
- Probabilidad de escoger dos números coprimos
- Celebrando el día de Pi con una aguja y una medusa
- Cómo demostrar que Pi es irracional (II)
- Cadaeic Cadenza
- El problema de Basilea
- La identidad de Euler
Actualizo la entrada para dejaros un buen puñado de enlaces a artículos de Gaussianos relacionados con Pi que, creo, merecen mucho la pena:
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